Постановка и решение задач

Решение задач состоит в получении определенных результатов. Это относится к в работе, жизни или учебе: сдача экзаменов, написание сочинений, выполнение чертежей, изготовление приборов, инстру­ментов и машин, сбор урожая, накопление капитала и т. п. - все это получение или достижение результатов.

Ключом к любой задаче являетсяспособ решения, дающий необ­ходимые результаты. Знание способов решения и умение их приме­нять для решения практических задач - важнейшая характеристика профессиональной квалификации.

Результаты правильные, если они отвечают требованиям решае­мых задач. Однако, если требования сформулированы недостаточно четко, то нельзя однозначно судить о правильности полученных ре­зультатов.

Результаты неправильные, если они противоречат заданным требованиям. Как однозначно определить правильность результатов? Ответ: для этого необходима точная постановка задач с четким выделением требований.

Для решения задач необходимо определение:

1)что требуется?

2)что дано?

Ответ на первый вопрос- что требуется? - точное определение требуемых результатов. При отсутствии требований к конечным целям оценка полученных результатов может быть неоднозначной.

Ответ на второй вопрос -что дано? - определение исходных условий, при которых требуется получить результаты. Неоднознач­ность в определении исходных условий может привести к получе­нию неправильных результатов.

Рассмотрим задачу:«Добраться домой». Исходным будет место, где мы находимся, а требуемым - свой дом. Способов решения этой задачи может быть много, но правильные среди них только те, кото­рые обеспечат достижение своего дома.

Рассмотрим вторую задачу. «Решение уравнения2×х+1 = 0». Здесь требуемым является корень уравнения. В качестве решения уравне­ния можно рассмотреть два числа х₁ = 1 и х₂ = -1/2. Правильным из них является то решение, при подстановке которого уравнение пре­вратится в тождество.

Подстановка первого числа х₁ = 1 в уравнение дает противоречие

2.(1) +1= 3 ¹ 0.

Следовательно, значение х₁ = 1 - это неправильное решение, так как оно противоречит требованиям и не может быть корнем уравне­ния.

Подстановка второго решения х₂ = -1/2 в уравнение дает тожде­ство

2.(-1/2) +1= 0.

Таким образом значение х₂ = -1/2 удовлетворяет исходному урав­нению и является правильным решением.

Способ решения правильный, если он дает правильные результаты. Для определения правильности способов решения задач необходима четкая постановка решаемых задач, в которых должны быть строго определены требуемые результаты.

Способ - неправильный, если его применение приводит к получе­нию неправильных результатов либо вовсе не дает никаких резуль­татов. Использование неправильных способов решения может вооб­ще не давать результатов.

Способы могут быть частными и общими.Частные способы дают конкретные решения частных задач. Частный способ может оказать­ся неприменимым для решения сходных задач, отличающихся дета­лями.

Общий способ может давать решения для целого класса задач, отвечающих определенным исходным условиям и отличающихся друг от друга конкретными исходными данными.

Так, для рассмотренной задачи решения уравнения 2-х + 1 = 0 можно использовать общий способ решения линейных уравнений видаа×х + b = 0:

х₀ = - b/а.

Применение этой формулы при а = 2, b = 1 дает решение х₀ = - b/а = -1/2, которое нам уже известно как правильное.

В правильности общего способа решения уравнений вида а×х + b = 0 можно убедиться подстановкой формулы х₀ = - b/а в само уравне­ние:

а×х + b º а×(- b/а) + b º -b + b º 0.

Припостановке обобщенных задач кроме выделения требуемого необходимо определить исходные условия, при которых должно быть получено требуемое. В такой постановке задач должно быть опреде­лено, какие исходные условия будут считаться допустимыми, а ка­кие нет.

Постановка задачи:

1. Что дано?

2. Что требуется?

3. Что допустимо?

Приведем полное описание постановки рассмотренной выше за­дачи:

Задача: решить уравнение а-х + b = 0.

Треб: х - корень уравнения.

Дано: а, b - коэффициенты уравнения.

При: а ¹ 0.

Уравнения данного типа можно решать в общем виде с помощью электронных таблиц, применяя описанный общий метод решения и следующую калькуляцию:

с расчетной формулой С3 = -С2/ А2.

Особую ценность для решения задач представляют обобщенные методы решения.Метод - единый способ решения некоторого класса задач. Знание методов позволяет находить решения для любой кон­кретной задачи данного класса.

Метод решения правильный, если он дает правильные результаты для любой задачи данного класса. Применение таких методов гаран­тирует правильность результатов для любой из задач данного класса.

Метод решения неправильный, если можно указать конкретную задачу данного класса, для которой применение метода даст непра­вильные результаты либо не даст результатов вовсе.

Например, для уравнения а×х + b = 0 формула х = - b/а не дает результата при а = 0. Но при значении а = 0 уравнение превращается в соотношение b = 0, что говорит о недопустимости этого значения. Следовательно, условием допустимости данных в рассматриваемой задаче будут значения а ¹ 0.

Правильность методов решения можно проверять на конкретных примерах. Достаточно привести хотя бы одинконтрпример, на кото­ром способ или метод дает неправильный результат, чтобы утверж­дать о неправильности метода решения в целом.

Однакодемонстрация правильности результатов на двух-трех при­мерах не может служить достаточным основанием для утверждений о правильности метода или способа решения в целом.

Полное обоснование правильности методов решения дает только исчерпывающий анализ результатов, получаемых с их помощью для любых задач данного класса. Пример - приведенное выше обосно­вание общего метода решения линейных уравнений.

В общем случаеобоснование правильности обобщенных методов решения требует математического исследования получаемых резуль­татов и математического доказательства их правильности для всех конкретных случаев.

В о п р о с ы

1. Когда результаты правильные?

2. Когда результаты неправильные?

3. Когда способ решения правильный?

4. Что такое постановка задачи?

4. Что такое метод решения?

5. Когда метод решения правильный?

6. Когда метод решения неправильный?

З а д а н и я

1. Приведите постановку задачи и общий метод решения квадрат­ного уравнения.

2. Приведите калькуляцию для решения квадратных уравнений на компьютере.

3. Докажите правильность общего метода решения квадратного урав­нения.

4. Приведите калькуляцию для решения системы уравнений с двумя неизвестными:

а×х + b×у = е

с×х + d×y = f

с помощью следующего общего метода:

х = D_x/D у = D_y/D

D_x = e×d - b×f D_y = a×f - b×e

D = a×d - b×c