Элементы алгебры логики

Алгебра логики — это раздел математической логики, значение всех элементов (функций и аргументов) которой определены в двухэлементном множестве: 0 и 1. Алгебра логики оперирует с логическими высказываниями.

Высказывание — это любое предложение, в отношении которого имеет смысл утверждение о его истинности или ложности. При этом считается, что высказывание удовлетворяет закону исключенного третьего, то есть каждое высказывание или истинно, или ложно, и не может быть одновременно и истинным и ложным.

Высказывания:

l «Сейчас идет снег» — это утверждение может быть истинным или ложным;

l «Вашингтон — столица США» — истинное утверждение;

l «Частное от деления 10 на 2 равно 3» — ложное утверждение.

В алгебре логики все высказывания обозначают буквами a, b, c и т. д. Содержание высказываний учитывается только при введении их буквенных обозначений, и в дальнейшем над ними можно производить любые действия, предусмотренные данной алгеброй. Причем если над исходными элементами алгебры выполнены некоторые разрешенные в алгебре логики операции, то результаты операций также будут элементами этой алгебры.

Простейшими операциями в алгебре логики являются операции логического сложения (иначе: операция ИЛИ (OR), операция дизъюнкции) и логического умножения (иначе: операция И (AND), операция конъюнкции). Для обозначения операции логического сложения используют символы + или \/, а логического умножения — символы · или /\. Правила выполнения операций в алгебре логики определяются рядом аксиом, теорем и следствий. В частности, для алгебры логики применимы законы:

1. Сочетательный:

(a + b) + c = a + (b + c),

(a · b) · c = a · (b · c).

2. Переместительный:

(a + b) = (b + a),

(a · b) = (b · a).

3. Распределительный

a · (b + c) = a · b + (a · c),

(a + b) · c = a · c + b · c.

Справедливы соотношения, в частности:

Наименьшим элементом алгебры логики является 0, наибольшим элементом — 1. В алгебре логики также вводится еще одна операция — отрицания (операция НЕ (NOT), инверсия), обозначаемая чертой над элементом.

По определению:

Справедливы, например, такие соотношения:

Функция в алгебре логики — выражение, содержащее элементы алгебры логики a, b, c и др., связанные операциями, определенными в этой алгебре.

Примеры логических функций:

Согласно теоремам разложения функций на конституанты (составляющие), любая функция может быть разложена на конституанты 1:

(4)

и т. д. Эти соотношения используются для синтеза логических функций и вычислительных схем.