Частные случаи задач определения концентрации носителей тока

Часто в задачах указывается конкретный материал полупроводника. В таких случаях можно пользоваться известными данными про ширину запрещенной зоны, эффективные массы и подвижности.

Для расчета концентрации собственных носителей заряда в самых широко применяемых полупроводниках – кремнии и германии – в практических расчетах можно использовать следующее выражение, выведенное из (1.11):

, (1.19)

где В – константа, учитывающая эффективные массы носителей заряда. Значения константы В, ширины запрещенной зоны, типичные значения подвижностей, а также некоторых других свойств представлены в табл. 1.3.

Таблица 1.3

Константы для расчета концентраций носителей

* Подвижность носителей заряда зависит от температуры, уровня легирования, качества кристалла, но для задач, где нет других данных, можно использовать эти данные.

ЗАДАЧА 1.5

Какова должна быть концентрация донорной примеси в кремнии, чтобы его проводимость при 300 К была равна проводимости чистого германия?

Дано:

Полупроводник №1 (Ge) собственный:

Запрещенная зона – W_g =0,785эВ;

Подвижности μ_е(Ge) = 3900 см²·В^-1·с^-1;

μ_h(Ge) = 1900 см²·В^-1·с^-1;

Температура T = 300 K;

Полупроводник №2 (Si) примесный (n-типа):

Запрещенная зона – W_g =1,21эВ;

Подвижности μ_е(Ge) = 1200 см²·В^-1·с^-1;

μ_h(Ge) = 500 см²·В^-1·с^-1;

Температура T = 300 K;

σ_(Ge) = σ_(n-Si).

Найти:

N_d

Решение:

Приравняем проводимости наших полупроводников (1.13, 1.14):

(1.20)

Так как нам известно, что наши полупроводники – германий и кремний, то можем записать для них:

=2,3·10¹³ см^-3;

=1,4·10¹⁰ см^-3.

Из-за меньшей ширины запрещенной зоны концентрация собственных носителей тока при одинаковой температуре в германии будет на порядки выше, чем в кремнии. Обозначим концентрацию электронов в зоне проводимости кремния, легированного донорами n_(n-Si), тогда концентрация дырок в нем будет равна:

Подставим все известные значения в (1.20) и получим:

;

Это обычное квадратное уравнение, найдем его корни:

и .

Второй корень не подходит, так как концентрация электронов в зоне проводимости в полупроводнике n-типа не может быть меньше n_i. Таким образом, концентрация электронов .

Рассчитаем, в какую область попадает 300 K, для чего найдем N_C(Si). Для этого подставим в (1.9) значения (1.19):

2,00×10²⁰ см^-3

Получаем: n_i=1,4·10¹⁰ см^-3, N_C = 2,00×10²⁰ см^-3, т.е. n_i<<N_C, т.е. попадаем в область (1.17):

;

Опять получили квадратное уравнение, корни которого 1,8·10⁶ и 1,11·10¹⁵. Первый корень не подходит, так как такая концентрация не отвечает условию (1.17). Таким образом, концентрация доноров 1,11·10¹⁴ см^-3.

Ответ:

Концентрация доноров 1,11·10¹⁴ см^-3.

ЗАДАЧА 1.6

На сколько нужно повысить температуру чистого германия с 300 К, чтобы концентрация электронов увеличилась в 2 раза.

Дано:

Полупроводник (Ge) собственный:

Запрещенная зона – W_g =0,785эВ;

Температура T = 300 K;

Концентрации носителей тока, n_(Т1) =2n₍₃₀₀₎;

Найти:

T₁

Решение:

Так как нам известно, что наш полупроводник – германий, то можем воспользоваться формулой (1.19) и записать для обеих температур:

,

при этом, n_(Т1) =2n₍₃₀₀₎, поэтому:

;

;

.

Такое уравнение аналитически решить трудно, поэтому можно решать его численными методами (в любой компьютерной программе, например MS Excel), если это по каким-то причинам затруднительно, то можно решить уравнение графически или построить график зависимости концентрации носителей заряда от температуры по формуле (1.19). Из задачи 1.1 мы знаем, что в собственном полупроводнике концентрация носителей с температурой растет экспоненциально, т.е. в два раза вырастает при небольшом увеличении температуры. Рассчитаем концентрацию носителей при трех температурах – 300, 310 и 320 К.

=2,34·10¹³см^-3.

Нам нужно найти температуру, при которой n=2·n₍₃₀₀₎ = 4,68·10¹³ см^-3

=4,01·10¹³см^-3;

=6,66·10¹³см^-3.

Искомая температура лежит между 310 и 320 К. Нанесем точки (табл. 1.4) на график (рис. 1.5).

Рис. 1.5. Зависимость концентрации электронов
в зоне проводимости от температуры

Таким образом, искомая температура 313 К.

Ответ:

Температуру нужно поднять на 13 градусов.

ЗАДАЧА 1.7

В чистом антимониде индия InSb при 300 К эффективная масса дырок больше эффективной массы электронов в 100 раз. Как изменится положение уровня Ферми при нагревании от комнатной температуры до 80 ^оС? Принять отношение эффективных масс неизменным во всем в исследуемом диапазоне температур.

Дано:

Полупроводник (InSb) собственный:

Эффективные массы – = 100;

Температуры t₁=20 ^оС, t₂ = 80 ^оС.

Найти:

Изменение положения уровня Ферми .

Решение:

Уровень Ферми в собственном полупроводнике определяется формулой (1.6). Из нее видно, что с увеличением температуры уровень Ферми смещается вверх от середины запрещенной зоны. Рассчитаем изменение положения уровня Ферми:

Ответ:

Уровень Ферми сместится вверх на 0,018 эВ.

ЗАДАЧА 1.8

Пластина германия n-типа имеет удельное сопротивление 0,1 Ом·см и ширину 0,25 см. К пластине приложено напряжение в 1 В. Подвижность электронов 3900 см²·В^-1·с^-1, дырок – 1900 см²·В^-1·с^-1. Концентрация собственных носителей тока 2,3×10¹³ см^-3. Найдите плотность тока, отношение проводимостей дырками и электронами, время, которое потребуется, чтобы носители заряда пересекли пластину.

Дано:

Полупроводник (Ge) примесный n-типа.

r = 0,1 Ом×см

l = 0,25 см

U = 1 В

Подвижности μ_е = 3900 см²·В^-1·с^-1;

μ_h = 1900 см²·В^-1·с^-1;

n_i = 2,3 ×10¹³ см^-3

Найти:

Плотность тока I*;

Время, за которое носители заряда пересекут пластину τ;

Отношение проводимостей .

Решение:

1) Найдем плотность тока.

По определению плотность тока равна отношению тока к площади, через которую он протекает:

, (1.21)

а силу тока можно рассчитать из закона Ома для участка цепи:

. (1.22)

Зная удельное сопротивление, можно рассчитать сопротивление участка цепи:

. (1.23)

Подставив (1.22) и (1.23) в (1.21) получим значение плотности тока:

2) Найдем время пересечения носителями заряда пластины.

Время равно отношению расстояния к скорости:

(1.24)

К германиевой пластине приложена разность потенциалов, т.е. движение носителей тока в ней обусловлено дрейфом. Скорость дрейфа можно найти, зная подвижность носителей тока µ и напряженность поля в пластине Е:

, (1.25)

а напряженность поля – зная разность потенциалов U и расстояние между ними:

. (1.26)

Подставляя (1.25) и (1.26) в (1.24), получаем:

(1.27)

Таким образом, для электронов время прохождения пластины будет:

,

а для дырок:

.

3) Найдем отношение проводимостей.

Проводимость равна обратному удельному сопротивлению:

(1.28)

Проводимость германия n-типа при температурах, близких к комнатной, определяется в основном током электронов, т.е. из (1.12) получаем:

.

Подставляя туда (1.28) получаем значение концентрации электронов:

.

Концентрацию дырок найдем из квадрата концентрации собственных носителей тока, так же, как в задаче 1.2:

.

Дырочная проводимость равна:

Отношение проводимостей:

.

Ответ:

Плотность тока 40 А/см².

Время пересечения пластины электронами 1,60·10^-5 с, дырками – 3,29·10^-5 с.

Отношение проводимости электронами к проводимости дырками –·10⁷.

Примеры задач

1.5.1.В собственном полупроводнике ширина запрещенной зоны зависит от температуры по следующему закону W_g= 0,82 – 2·10^-4·Т (эВ). Эффективные массы электрона 0,5 m, дырки 0,4 m. Для 300 К, 350 К и 400 К найдите величины концентраций собственных носителей тока и постройте график: ni= f(1/T).

1.5.2.В собственном полупроводнике при 300 К концентрация электронов в зоне проводимости 2·10¹³см^-3. Эффективные массы электрона 0,6 m, дырки 0,45 m. Найдите ширину запрещенной зоны.

1.5.3.В собственном полупроводнике ширина запрещенной зоны 0,7 эВ. При 300 К концентрация электронов в зоне проводимости 2·10¹³см^-3_· Эффективная масса электрона в 1,5 раза больше массы дырки. Подвижность электронов при этой температуре равна 2800 см²·В^-1·с^-1, подвижность дырок меньше подвижности электронов в 2 раза. Найдите эффективные массы электронов и дырок и проводимость полупроводника.

1.5.4.В примесном полупроводнике n-типа ширина запрещенной зоны 0,82 эВ. Энергетический зазор между дном зоны проводимости и уровнями доноров составляет 0,02 эВ, концентрация доноров N_d = 2·10¹⁴см^-3. Эффективные массы электрона 0,5 m, дырки 0,4 m. Найдите величины концентраций носителей тока при 200, 300 и 400 К.