Определение концентрации носителей тока в примесных полупроводниках

На практике исследователь чаще сталкивается с примесными полупроводниками, проявляющими проводимость p- или n-типа. Концентрации свободных электронов в них отличаются от концентрации дырок на порядки. Генерация носителей заряда в таких полупроводниках при разных температурах будет происходить по разным механизмам. В области низких температур проводимость определяется генерацией только с примесных уровней, поскольку энергетический зазор между уровнями примеси и разрешенными зонами меньше, чем между разрешенными зонами (W_C – W_d < W_C – W_V и W_a – W_V < W_C – W_V) (рис. 1.3).

а б

Рис. 1.3. Зонные схемы примесных полупроводников
и генерация носителей заряда в них:

а – донорного; б – акцепторного

С повышением температуры, когда тепловые колебания решетки становятся способными генерировать в заметном количестве собственные носители тока (электронно-дырочные пары), проводимость примесного полупроводника сначала становится смешанной, а затем – практически собственной.

Таким образом, для примесных полупроводников в первую очередь необходимо определить границы областей примесной, переходной (смешанной) и собственной проводимости. Положение уровня Ферми определяется количеством свободных электронов, поэтому оно тоже меняется с температурой. На графике температурной зависимости W_F различают примесную область, область истощения доноров (акцепторов), область собственной проводимости и область вырождения.

Примесная область охватывает температурный интервал от самых низких температур до температур, когда примесь становится полностью ионизированной (W_d » kT). Положение уровня Ферми определяется формулой (для донорного полупроводника):

(1.15)

При Т = 0 или второй член в правой части равен нулю, и поэтому уровень Ферми лежит точно посредине между уровнями доноров и дном зоны проводимости. В реальных условиях (Т > 0 K, ) он немного сдвинут вверх, но в большинстве случаев этим сдвигом можно пренебречь. Аналогично в дырочном полупроводнике расположен почти посредине между потолком валентной зоны и уровнем акцепторов.

Завершается примесная область тогда, когда уровень Ферми понижается относительно уровня доноров W_d (или повышается относительно уровня акцепторов W_a) на 2кТ. При температурах больших T = W_d /k доноры расположены достаточно высоко над уровнем Ферми и поэтому полностью ионизированы. Дальнейший нагрев полупроводника в пределах области истощения примеси не приводит к повышению концентрации электронов в зоне проводимости, поэтому эту область называют еще и областью насыщения. На кривой температурной зависимости электропроводности полупроводника в этой области отмечается горизонтальный участок.

При высоких температурах, когда концентрация собственных носителей заряда n_i достигает значений, отличающихся от концентрации примеси(N_d или N_a) менее чем на порядок, начинается область смешанной проводимости. При дальнейшем росте температуры, когда n_i превосходит N_d (N_a) на порядок, начинается область собственной проводимости, W_F приближается к середине запрещенной зоны на величину 2кТ. В области собственной проводимости концентрация электронно-дырочных пар преобладает более чем на порядок над концентрацией примесных носителей тока. Кончается область собственной проводимости при предплавильных температурах полупроводника.

В некоторых случаях возможно еще одно состояние полупроводника – вырожденное. Переход полупроводника в вырожденное состояние возможен при высокой степени легирования или при сильном различии величин эффективных масс носителей тока. Уровень Ферми в вырожденном полупроводнике лежит внутри разрешенных зон или в запрещенной зоне, но очень близко от границ разрешенных зон (на расстояниях не более kT). Вырожденные полупроводники во многом ведут себя как полуметаллы, т.е. по электрическим свойствам они занимают промежуточное положение между металлами и полупроводниками. Они остаются проводниками электрического тока вплоть до абсолютного нуля температур, имеют малую (по сравнению с металлами) концентрацию носителей тока и, в отличие от металлов, с повышением температуры их проводимость возрастает. Вырожденные полупроводники применяют в производстве некоторых приборов: туннельных диодов, некоторых типов светодиодов, полупроводниковых инжекционных лазеров.

ЗАДАЧА 1.2

В полупроводник, рассмотренный в задаче 1.1, ввели донорную примесь. Энергетический зазор между дном зоны проводимости и уровнями доноров составляет 0,01 эВ. Концентрация донорной примеси 10¹³ см^-3.

Нужно найти концентрации основных носителей заряда при 27 ^оС, 80 ^оС и 180 ^оС, а также при низких температурах 4 K (температура кипения жидкого гелия), 50 K (температура верхней атмосферы планеты Уран) и 77 К(температура кипения жидкого азота), построить график зависимости концентрации свободных электронов от температуры, определить проводимость проводника при этих температурах.

Дано:

Полупроводник примесный:

Запрещенная зона – W_g =0,8 эВ;

Примесь донорная: W_d = 0,01 эВ.

концентрация N_d = 10¹³ см^-3.

Эффективные массы – = 0,56 m; = 0,37 m;

Подвижности μ_е = 3800 см²·В^-1·с^-1;

μ_e= а·Т^-3/2 (а = const);

Температуры t₁=27 ^оС, t₂= 80 ^оС, t₃ =180 ^оС,

T₄ = 4 K, T₅ = 50 K, T₆ = 77 K.

Найти:

n, p;

σ при t₁, t₂и t₃.

Решение:

1. Определим границы областей разной проводимости. При W_d » kT можно считать, что доноры полностью ионизованы. В нашем случае это будет иметь место при и более высоких. Ниже 116 К проводимость полностью примесная.

Выше 116 К наступает область насыщения, когда все доноры уже ионизованы, а величины собственной проводимости еще на порядки ниже величины примесной проводимости. При полной ионизации доноров концентрация электронов в зоне проводимости равна концентрации доноров
(n = N_d). На графике она будет характеризоваться горизонтальной прямой на уровне n=N_d=10¹³см^-3. Область насыщения простирается до приблизительно пересечения на графике этой линии с линией собственной проводимости.

При температурах, когда концентрации n_i и N_d близки, уже нельзя считать n=N_d, и требуется расчет концентраций по формулам для «смешанной области».

При более высоких температурах концентрация собственных носителей (n_i) преобладает над концентрацией примесных (n_i>>N_d). Здесь концентрацией примесных носителей можно пренебречь. В этой «собственной области», в частности, при Т = 453 К, n_i = 5,27^.10¹⁴см^-3 (см. задачу 1.1), что значительно больше N_d=10¹³. Таким образом, при Т = 453 К n = 5,27^.10¹⁴см^-3.

2) Концентрации носителей тока в примесной области.

(1.16)

Таким образом, значения концентрации электронов (см^-3) в зоне проводимости:

5,04·10⁶;

3,13·10¹²;

4,71·10¹².

3) Концентрации носителей тока в смешанной области. Для разных соотношений между эффективной плотностью состояний в зоне проводимости, концентрациями собственных носителей и доноров применяют разные формулы.

Для условия применима формула (1.17)