Определение концентрации носителей тока в собственных полупроводниках

Определение равновесной концентрации носителей тока в полупроводниках

Общие сведения

Важность определения концентрации носителей заряда (т.е. свободных электронов и дырок) в полупроводнике связано с тем, что эта концентрация определяет одно из важнейших свойств полупроводника – его электропроводность.

Если проводник находится вне воздействия внешних электромагнитных полей и излучений, то ионы и электроны в нем находятся в равновесном состоянии. Согласно статистике Ферми – Дирака, оно характеризуется вполне определенным распределением электронов по разрешенным энергетическим уровням полупроводника.

Статистика Ферми – Дирака учитывает неразличимость (или «тождественность») частиц, и описывает системы частиц с полуцелым спином, т.е. системы электронов, протонов и нейтронов. Функция распределения Ферми – Дирака в общем виде имеет вид:

(1.1)

где W – заданная энергия; f – вероятность заполнения частицами уровня с энергией W; k – постоянная Больцмана; T – заданная температура;
– энергетический параметр (энергия Ферми).

Таким образом, значение функции Ферми – Дирака зависит от положения W_F относительно энергетических уровней системы и температуры.

Функция Ферми – Дирака из-за наличия в знаменателе слагаемого – единицы, неудобна в аналитических (не численных) расчетах. Но ее можно аппроксимировать более удобной для расчетов функцией. При первое слагаемое в знаменателе становится существенно больше единицы. Это позволяет пренебречь единицей и записать:

(1.2)

Первый сомножитель является константой для каждого материала, обозначим ее A. Тогда:

, (1.3)

т.е. распределение Ферми – Дирака принимает вид распределения Максвелла –Больцмана. Соответствие обеих функций становится удовлетворительным при условии . Это условие выполняется в ряде практически важных расчетов, в том числе и при решении задач. При W>>W_F аппроксимирующая функция для электронов имеет вид:

(1.4)

Аналогично, при условии W<<W_F, и при учете того, что для дырок вероятность заполнения энергетических уровней обратная f_h = 1 – f_e, функция (1.2) примет вид:

(1.5)

Выражение (1.4) используют при расчете концентрации электронов, а выражение (1.5) – для расчета концентрации дырок.

Определение концентрации носителей тока в собственных полупроводниках

Собственным полупроводником называют полупроводник, в котором нет дополнительных уровней в запрещенной зоне, и генерация носителей заряда в нем может происходить только при переходе электрона из валентной зоны в зону проводимости (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Зонная схема собственного полупроводника и генерация носителей заряда в нем

В самом простом случае можно сказать, что это полупроводник без примесей. Однако создавать уровни в запрещенной зоне могут не только специально введенные примеси, но и дефекты нестехиометрии в бинарных (и более сложных) полупроводниках, а также и другие точечные дефекты монокристаллов полупроводников. Чистые однокомпонентные полупроводники можно считать собственными. В них из-за механизма генерации носителей концентрации свободных электронов и дырок всегда будут равны n = p.

Расчеты показывают (рассмотрены в лекционном курсе), что уровень Ферми в собственном полупроводнике лежит вблизи середины запрещенной зоны. Положение уровня Ферми определяется формулой:

(1.6)

При T=0 второе слагаемое равно нулю, и энергия уровня Ферми равна половине ширины запрещенной зоны. Для реальных значений T, и второе слагаемое не равно нулю, но обычно составляет малую долю от величины первого слагаемого (подробнее в задаче 1.7), и поэтому приближенно можно считать, что уровень Ферми собственного полупроводника расположен в середине запрещенной зоны. Таким образом, для собственного полупроводника:

. (1.7)

ЗАДАЧА 1.1

В собственном полупроводнике ширина запрещенной зоны 0,8 эВ. Эффективная масса электрона в зоне проводимости равна 0,56 m,а дырки–
0,37 m. Подвижность электронов при 300 К равна 3800 см²·В^-1·с^-1 и зависит от температуры по следующему закону μ_e= а·Т^-3/2 (параметр а принять неизменным). Подвижность дырок в области исследуемых температур меньше подвижности электронов в 2 раза. Нужно найти концентрации свободных электронов и дырок при 27 ^оС, 80 ^оС и 180 ^оС, построить график зависимости концентрации свободных электронов от температуры, определить проводимость полупроводника при этих температурах.

Дано:

Полупроводник собственный:

Запрещенная зона – W_g =0,8 эВ;

Эффективные массы – = 0,56 m; = 0,37 m;

Подвижности μ_е = 3800 см²·В^-1·с^-1;

μ_e= а·Т^-3/2 (а = const);

Температуры t₁=27 ^оС, t₂= 80 ^оС, t₃ =180 ^оС.

Найти:

n, p; σ.

Решение:

Концентрации свободных электронов и дырок в собственном полупроводнике равны n = p = n_i, поэтому мы будем проводить расчет только для электронов. Концентрация электронов в зоне проводимости равна произведению эффективной плотности состояний в этой зоне и функции распределения:

. (1.8)

Эффективные плотности состояний (см^-3) равны:

(1.9)

(1.10)

(1.11)

(1.12)

Во всех расчетах необходимо использовать значения температур по термодинамической шкале (т.е. в К). Таким образом, при 27 ^оС (300 К) концентрация электронов в зоне проводимости равна:

При 80 ^оС (353 К) – равна:

При 180 ^оС (453 К) – равна:

Концентрация электронов в зоне проводимости с температурой растет экспоненциально, поэтому график зависимости удобно представлять в арениусовских координатах (концентрацию – по логарифмической шкале, а температуру в виде ). Занесем в таблицу (табл. 1.1) значения температуры и концентрации носителей заряда, а затем построим график (рис. 1.2).