Криволинейная ортогональная система координат

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ

Московский технический университет связи и информатики

_____________________________________________________________

Корнюхин В.И

М О Т э М П

( конспект лекций )

Л Е К Ц И Я - 1

Часть 1

Системы координат

1.1.1Декартова система координат позволяет связать с каждой точкой P пространства три действительных числа (декартовы координаты)- x (абсцисса), y (ордината), z (аппликата), при этом пишут P(x, y, z). Три взаимно перпендикулярные оси X, Y, Z, проходящие через некоторую точку 0, образуют прямоугольнуюили ортогональную систему координат.. Каждая точка P(x,y,z) имеет свой радиус-вектор r (рис.1.1), который в прямоугольной декартовой системе координат может быть представлен в виде:

r = x₀x + y₀y + z₀z

где: x₀,y₀,z₀ – единичные векторы или орты прямоугольной системы координат.

Длина радиус-вектора r (его численное значение или модуль) обозначается как |r| = r = 0P и является функцией

Единичный вектор или орт радиуса вектора r₀, направление которого совпадает с направлением r, может быть представлен в виде:

, где

-направляющие косинусы углов между r₀ и положительными направлениями осей 0x, 0y, 0z.

Расстояние d между точками P₁(x₁,y₁,z₁) и P₂(x₂,y₂,z₂) равно

Направленный отрезок (вектор P₁P₂) может быть записан в виде:

P₁P₂ = x₀(x₂ – x₁) +y₀(y₂ – y₁) +z₀(z₂ – z₁)

Криволинейная ортогональная система координат

В декартовой прямоугольной системе координат положение в пространстве некоторой точки P(x’, y’, z’) определяется пересечением трех взаимно перпендикулярных координатных плоскостей (рис.1.2)

x = x’, y = y’, z = z’.

При решении конкретных задач, часто оказывается удобнее определять точку в пространстве не как пересечение трех плоскостей, а как пересечение трех произвольных однозначно заданных произвольных поверхностей, которые в общем случае описываются уравнениями:

q₁(x,y,z) = const, q₂(x,y.z) = const и q₃(x,y.z) = const,

. Для произвольной точки P в системе криволинейных координат устанавливается обозначение P(q₁, q₂, q₃).

В каждой точке можно рассматривать единичные векторы (орты), касательные координатным линиям и направленные в сторону возрастания соответствующих координат. Будем обозначать их символами l₁, l₂, l₃ (рис.1.3).

Как правило, используются только ортогональные системы координат, т.е. такие, орты которых в любой точке взаимно перпендикулярны.Перемещение точки P (рис. 1.4а) выражается приращением ее радиуса-вектора Δr. Разлагая дифференциал dr по ортам l₁, l₂иl₃,имеем: dr = l₁d l₁+ l₂d l₂+l₃d l₃,

где d l_1, d l₂ и d l₃ – дифференциалы длины по соответствующим криволинейным координатам. С другой стороны:

Частные производные радиус-вектора r по координатам – это векторы, параллельные их ортам (рис. 1.4б):

Из сравнения равенств и с учетом последнего, видно, что дифференциалы длины криволинейных координат отличаются от дифференциалов самих координат множителями h₁, h₂ и h₃:

dl₁ = h₁dq₁, dl₂ = h₂dq₂ и dq₃ = h₃dq₃.

Эти множители называются метрическими коэффициентами, или коэффициентами Ламэ. Цилиндрическая система координат получила свое название от одной из координатных поверхностей, представляющей собой бесконечный круговой цилиндр с радиусом r. Вторая координатная поверхность – полуплоскость, ограниченная осью цилиндра. Третья координатная поверхность – плоскость перпендикулярная оси цилиндра (рис.1.5). Координатные линии цилиндрической системы координат: r – линия пересечения полуплоскости, проходящей через ось Z с плоскостью перпендикулярной оси Z, j – линия пересечения кругового цилиндра с плоскостью перпендикулярной оси Z, z – линия пересечения кругового цилиндра с плоскостью, проходящей через ось цилиндра (образующая цилиндра). Цилиндрические координаты: r (радиус); j (полярный угол); z (аппликата) .Орты r₀, j₀, z₀ образуют правую тройку векторов. Элемент цилиндрической поверхности dS =rdjdz. Элемент объема dV = r dr d dz.

1.1.3 Сферическая система координат получила свое название от одной из координатных поверхностей, представляющей собой сферу радиусом r. Вторая координатная поверхность конус с вершиной, расположенной в начале системы координат и углом вершины равным 2q. Третья – полуплоскость, ограниченная осью Z (рис.1.6). Координатные линии сферической системы координат: r– линия пересечения поверхности конуса с плоскостью, проходящей через ось Z, q – образована пересечением сферы радиуса r с плоскостью, проходящей через ось Z, j– образована пересечением поверхностей сферы и конуса. Сферические координаты: r (радиус); q (меридиональный угол); j (азимутальный угол). Орты r₀, q₀ ,j₀ образуют правую тройку векторов. Элемент сферической поверхности dS = r² sinq dq dj. Элемент объема dV = r² sinq dr dq dj.

Сведения о декартовой, цилиндрической и сферической системах координат сведены в таблицу 1.

Таблица 1

Где: h₁, h₂ и h₃ – коэффициенты Ламе, связывающие дифференциалы длины криволинейных координат с дифференциалами самих координат

dl_i = h_idq_i