Передаточные функции САУ

Понятие передаточной функции является очень важной категорией в теории автоматического управления и регулирования. Передаточная функция является своего рода математической моделью САР, т.к. полностью характеризует динамические свойства системы.

Под передаточной функцией элемента или системы понимают отношение операторного (лапласового) изображения соответствующей выходной величины к операторному изображению входной величины.

При этом также считают, что элемент или система находились при нулевых начальных условиях, т.е. элемент или система находились в установившемся состоянии, т.е. в состоянии покоя.

Следовательно, передаточная функция определяется в виде отношения

Для системы, описываемой операторным уравнением (2.7) передаточная функция будет иметь следующий вид:

(2.9)

Следовательно, передаточная функция равна отношению двух полиномов:

(2.10)

(2.11)

Как видно из уравнения (2.9), передаточная функция является дробно-рациональной функцией от независимого переменного p. Числитель передаточной функции является левой частью уравнения элемента или системы, а знаменатель - правой частью.

Уравнение

(2.12)

является характеристическим уравнением дифференциального уравнения, а поэтому оно также называется характеристическим уравнением звена. Поэтому называется характеристическим полиномом звена.

В системах автоматического управления степень полинома знаменателя в выражении (2.9) всегда выше или равна степени полинома числителя, т.е. .

Из приведенных соотношений также видно, что передаточную функцию легко получить из дифференциального уравнения простой формальной заменой производных оператором р в соответствующей степени.

Из выражения (2.8) следует, что изображение выходной величины определяется передаточной функцией и изображением входной величины

(2.13)

Запись соотношений между выходом и входом звена в виде последнего уравнения (2.13) имеет большое практическое значение и дает значительное преимущество при исследовании САР, т.к. оно позволяет графически изобразить звено следующим образом

В замкнутых САР имеется сложное взаимодействие блоков: выход одного блока может служить входом другого блока и т.д.

Использование понятия передаточной функции звеньев позволяет без особого труда находить связь между любыми координатами всей системы на основании знания передаточных функций соответствующих звеньев, составляющих эту систему. Не представляет трудности при этом и составление общего графического изображения ее в виде структурной системы.

Рассмотрим также в общем виде очень важное понятие коэффициента передачи (коэффициента усиления) К в установившемся режиме для звена с произвольной передаточной функцией W(р).

Если на вход звена подать постоянный входной сигнал Х_вх.у, то выходной сигнал Х_вых.(t)при t → ∞,будет стремитсяк некоторому установившемуся значению .