Математическое описание линейных САУ

При исследовании динамических процессов в САУ используются линейные дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения описывают связь между входным и выходным параметрами отдельных элементов и выражают аналитически характер изменения во времени выходного параметра при определенном виде входного параметра.

Предположим, что линейная САУ описывается дифференциальным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами и это уравнение имеет следующий вид:

(2.1)

где - выходная величина звена (системы);

- входная величина звена (в отклонениях от состояния равновесия);

, - постоянные коэффициенты, определяющие параметры звена.

При записи дифференциального уравнения члены, содержащие выходную величину и её производные, записывают в левой части уравнения, а все остальные члены – в правой.

В принципе можно решить это уравнение и найти ответ, т.е. реакцию системы на входное воздействие . Уравнение (2.1) описывает не только переходные, но и установившиеся процессы в системе.

Для определения связи между установившимся значением выходной величины и установившимся значением входной величины достаточно приравнять к нулю все производные входной и выходной величины.

В этом случае дифференциальное уравнение упростится и даст искомую зависимость между и в установившемся режиме.

Разрешив это уравнение относительно , получим статическую характеристику системы.

Запись уравнения в форме (2.1) неудобна, особенно когда возникает необходимость исследовать взаимодействие отдельных звеньев системы при их соединении в различные цепи. Кроме того, решения уравнений с порядком выше третьего значительно усложняется и требует применения вычислительной техники. Поэтому для упрощения решения уравнения (2.1) используют средства описания динамических свойств системы через преобразование Лапласа. Основанием для этого служит то обстоятельство, что такое преобразование существенно облегчает исследование сложных систем, поскольку дифференциальные уравнения заменяются алгебраическими.

Преобразование Лапласа позволяет легко учитывать начальные условия и избежать сложных выкладок при вычислении постоянных интегрирования. Преобразование Лапласа преобразует функцию вещественного переменного (в том числе времени) в функцию комплексного переменного.

Если имеется некоторая функция независимой переменной , то преобразование Лапласа, производимое над функцией и обращающее её в функцию , определяется соотношением

где – произвольная комплексная величина.

Функция называется оригиналом, а функция – изображениемфункции . При применении преобразования Лапласа к функции рассматриваются значения этой функции лишь при , т.е. после приложения в системе внешних возмущающих воздействий, что характерно техническим задачам САУ.

Основные преобразования Лапласа были рассмотрены в других курсах, поэтому они здесь не рассматриваются.

Наряду с прямым преобразованием (2.5.) функции времени в , т.е. наряду с операцией перехода от функции вещественного переменного к функции комплексного переменного р, пользуются обратным преобразованием, т.е. преобразованием изображения функции в оригинал .

.

Преобразование Лапласа для типовых математических операций, а также для функций, часто встречающихся в задачах автоматического регулирования можно найти в учебниках.

Пользуясь преобразованием Лапласа, представим дифференциальное уравнение (2.1.) в операторном виде:

или

где – оператор дифференцирования.

Последнее выражение является Лапласовым изображением дифференциального уравнения (2.1) при нулевых начальных условиях. Нулевые начальные условия состоят в том, что в системе n-го порядка при выходная величина и все ее производные от первого до n-1 равны нулям.