Вероятностные характеристики платежей

Пример 51.

Процентная ставка r меняется ежемесячно и является случайной величиной с известной функцией распределения F(r). Вклад в банке равен $10000. Найти оценку вероятности того, что через год на счете будет больше $12000. Рассмотреть случай, когда процентная ставка r распределена по нормальному закону с математическим ожиданием 25 % = 0,25 и среднеквадратическим отклонением 10 %=0,1.

Решение.

Используем формулу (3.33), где S₀ = $10 тыс., S₁ = $12 тыс. и ставка r имеет известное распределение F(r).

Найдем вероятность того, что через год конечный капитал S₁ превзойдет $12 тыс. Из формулы (3.33), используя преобразования неравенств, получим:

Таким образом, вероятность того, что конечный капитал превзойдет $12 тыс. при начальном капитале $10 тыс. равносильно вероятности того, что процентная ставка r превзойдет 20 % = 0,2.

Пусть теперь процентная ставка r распределена по нормальному закону с математическим ожиданием a=25 %=0,25 и среднеквадратическим отклонением σ = 10 % = 0,1. Для расчета вероятности используем нормированную нормальную функцию распределения с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1 и заданную интегралом Лапласа:

Для перехода к нормированной нормальной функции распределения центрируем случайную величину по формуле . Тогда, используя таблицы для вычисления интеграла Лапласа, найдем вероятность того, что через год конечный капитал S₁ превзойдет $12 тыс.

Для вычисления интеграла Лапласа можно использовать функцию НОРМСТРАСП( ) из Excel.

Обобщим пример 51. Предположим, что начисление процентов происходит по схеме сложных процентов.

Пример 52.

Процентная ставка r меняется ежемесячно и является случайной величиной с известной функцией распределения F(r). Вклад в банке равен $10000. Найти оценку вероятности того, что через t=2, 3, 5 лет на счете будет больше $12000. Начисление процентов происходит по схеме сложных процентов. Рассмотреть случай, когда процентная ставка r распределена по нормальному закону с математическим ожиданием 25 % = 0,25 и среднеквадратическим отклонением 10 %=0,1.

Решение.

Используем формулу (3.34), где S₀ = $10000, S₁ = $12000 и ставка r имеет известное распределение F(r).

Найдем вероятность того, что через t лет конечный капитал S₁ превзойдет $12 тыс. Из формулы (3.34), используя преобразования неравенств, получим:

При длительности сделки t=2, 3, 5 лет имеем соответственно:

Окончательно, используя для вычисления функции Лапласа таблицы или функцию НОРМСТРАСП( ) из Excel, найдем вероятность того, что конечный капитал S₁ превзойдет $12 тыс. за 2, 3, 5лет соответственно:

Таким образом, вероятность того, что конечный капитал превзойдет $12 тыс. при начальном капитале $10 тыс. за 2, 3, 5 лет соответственно равна 0,938899; 0,969549; 0,98336.

Обобщим примеры 51, 52. Предположим, что начисление процентов происходит по схеме непрерывных процентов.

Пример 53.

Процентная ставка r меняется ежемесячно и является случайной величиной с известной функцией распределения F(r). Вклад в банке равен $10000. Найти оценку вероятности того, что через t=2, 3, 5 лет на счете будет больше $12000. Начисление процентов происходит по схеме непрерывных процентов. Рассмотреть случай, когда процентная ставка r распределена по нормальному закону с математическим ожиданием 25 % = 0,25 и среднеквадратическим отклонением 10 %=0,1.

Решение.

Используем формулу (3.35), где S₀ = $10000, S₁ = $12000 и ставка r имеет известное распределение F(r).

Найдем вероятность того, что через t лет конечный капитал S₁ превзойдет $12 тыс. Из формулы (3.35), используя преобразования неравенств, получим:

При длительности сделки t=2, 3, 5 лет имеем соответственно:

Окончательно, используя для вычисления функции Лапласа таблицы или функцию НОРМСТРАСП( ) из Excel, найдем вероятность того, что конечный капитал S_t превзойдет $12 тыс. за 2, 3, 5лет соответственно:

Таким образом, вероятность того, что конечный капитал превзойдет $12 тыс. при начальном капитале $10 тыс. за 2, 3, 5лет соответственно равна 0,9439; 0,97077; 0,98363.

Сравнивая вероятности из примера 52 и 53, видим, что вероятность накопления капитала по непрерывным процентам больше.

Наиболее полное представление о случайной величине даёт функция распределения или плотность функции распределения. Во многих экономических приложениях можно ограничиться численными характеристиками случайной величины. Наиболее важными из них являются математическое ожидание и дисперсия. Они являются мерой среднего ожидаемого значения случайной величины и мерой разброса, рассеивания случайной величины.

Математическое ожидание определяет среднее ожидаемое значение случайной величины и равно:

,

где r - значение случайной величины,

f(r) dr – вероятность значения r случайной величины.

Свойства математического ожидания:

1. E(C) = C, где С – постоянная величина,

2. E(x + y) = E(x) + E(y), (3.36)

3. E(k x) = k E(x), где k – постоянный коэффициент.

Дисперсия определяет величину отклонения случайной величины от её математического ожидания и равна взвешенной сумме квадратов разности между значением случайной величины и её математическим ожиданием:

, (3.37)

где - квадрат отклонения,

f(r) dr – вероятность такого отклонения.

Свойства дисперсии:

1. D(C) = 0, где С – постоянная величина.

2. D(k x) = k² D(x), где k – постоянный коэффициент.

3. D(k x+b) = k² D(x), где k – постоянный коэффициент,b - число.

Дисперсию удобно вычислять по теореме:

Дисперсия случайной величины x равна математическому ожиданию квадрата случайной величины минус квадрат математического ожидания, то есть:

(3.38)

Найдем статистические характеристики конечного капитала S_t при условии, что известен начальный капитал S₀, и функция распределения процентной ставки r. Оценим математическое ожидание и дисперсию конечного капитала S_t для случая, когда начисляются простые проценты за год и сложные и непрерывные проценты за t лет.

Для математического ожидания в соответствии с (3.33), (3.34), (3.35) и (3.36) имеем:

E(S₁) = E(S₀ (1+r)) =S₀ (1+ E(r));

E(S_t) = E(S₀ (1+r)^t) =S₀ E((1 + r)^t);

E(S_t) = E(S₀ e^{r t}) =S₀ E(e^{r t}).

Таким образом, задача сводится к вычислению математического ожидания E(r), E((1 + r)^t) и E(e^{r t}).

В общем виде они равны соответственно:

(3.39)

Произведем вычисление до конца для случая равномерного распределения процентной ставки в пределах от a до b. В этом случае плотность функции распределения f(r) будет равна:

f(r)

при a< r< b

0, при r< a 1/(b-a)

0, при r> b

a b r

. рис.3.12.

График этой функции представлен на рис. 3.12.

Тогда, для интегралов (3.39) имеем:

(3.40)

Окончательно для математического ожидания конечного капитала S_t соответственно имеем:

1. простые проценты

(3.41)

2. сложные проценты

(3.42)

3. непрерывные проценты

(3.43)

Оценим дисперсию конечного капитала S_t для случая, когда начисляются простые проценты за год, сложные и непрерывные проценты за t лет.

В соответствии с (3.33), (3.34), (3.35) и (3.37) для дисперсий имеем:

D(S₁) = S₀² D(r),

D(S_t) = S₀² D((1+r)^t), (3.44)

D(S_t) = S₀² D(e^{r t}).

Для вычисления дисперсии по формуле (3.38) нужно вычислить математические ожидания от квадратов случайной величины. При равномерном распределении имеем из (3.40) соответственно:

Отсюда для дисперсии получим соответственно:

(3.45)

Окончательно, в соответствии с (3.44), для дисперсии конечного капитала S_t соответственно имеем:

(3.46)

Совокупность формул (3.41), (3.42), (3.43) и (3.46) дают оценки математического ожидания и дисперсию конечного капитала S_t для случая, когда начисляются простые проценты за год, сложные и непрерывные проценты за t лет.

Найдем статистические характеристики начального капитала S₀ при условии, что известен конечный капитал S_t, и функция распределения процентной ставки r. Оценим математическое ожидание и дисперсию начального капитала S₀ для случая, когда начисляются простые проценты за год и непрерывные проценты за t лет.

Рассмотрим сначала случай, когда начисляются простые проценты за год. Из (3.33) находим начальный капитал:

(3.47)

Тогда математическое ожидание равно:

(3.48)

Окончательно для математического ожидания начального вклада получим:

(3.49)

Дисперсия начального вклада из (3.44), (3.46) равна:

Воспользуемся теоремой (3.38) для вычисления дисперсии случайной величины . Дисперсия случайной величины равна математическому ожиданию квадрата случайной величины минус квадрат математического ожидания. Вычислим сначала в общем виде:

Для равномерного распределения получим:

Окончательно для дисперсии начального капитала S₀ в случае равномерного распределения процентной ставки r от a до b имеем:

(3.50)

Рассмотрим теперь случай, когда непрерывные проценты начисляются t лет. Из (3.35) находим начальный капитал:

(3.51)

Тогда математическое ожидание аналогично (3.40) и (3.43) равно:

(3.52)

Аналогично (3.45) и (3.46) для дисперсии начального капитала S₀ в случае равномерного распределения процентной ставки r от a до b имеем:

(3.53)

Таким образом, в данном разделе построены статистические характеристики начального и будущего капитал при известной функции распределения процентной ставки.

Задача 13.

Найти статистические характеристики начального капитала S₀ при условии, что известен конечный капитал S_t, и функция распределения процентной ставки r. Оценить математическое ожидание и дисперсию начального капитала S₀ для случая, когда начисляются сложные проценты за t лет. Рассмотреть случай равномерного распределения процентной ставки в пределах от a до b.

Ответы: