Среднее и действующее значения синусоидально изменяющейся величины

Под средним значением синусоидально изменяющейся величины понимают среднее её за полпериода. Так, среднее значение тока:

(2-8)

а,

(2-9)

. (2-10)

Рис. 2-5. Пояснение смысла среднего значения

В выражении (2-8) определяет площадь положительной полуволны синусоиды. На рис.5 эта площадь обозначена косой штриховкой.

Если эту площадь равномерно распределить на полпериода, что достигается делением интеграла на T/2, то высота полученного прямоугольника и будет среднее значение.

Очень широко применяют понятие действующего значения синусоидально изменяющейся величины. Его называют также эффективным или среднеквадратичным.

Из математики известно, что среднеквадратичное значение для синусоидального тока определяется следующим образом:

(2-11)

Получается это так:

Выражение (2-12) подставляется в (2-11) и получается окончательное выражение для действующего значения синусоидального тока.

Аналогично

(2-13)

Можно сопоставить тепловое действие синусоидального тока с тепловым действием постоянного тока ,текущего одинаковое время по одному и тому же сопротивлению.

Количество теплоты, выделенное за один период синусоидального тока

. (2-14)

Выделенная за то же время постоянным током теплота равна

(2-15)

Приравняем их

,

или

(2-16)

Таким образом, действующее значение синусоидального тока I численно равно значению такого постоянного тока , который за время, равное периоду синусоидального тока, выделяет такое же количество теплоты, что и синусоидальный ток.

2-4. Коэффициент амплитуды и коэффициент формы

Коэффициент амплитуды Ка- это отношение амплитуды периодически изменяющейся функции к её действующему значению. Так, для синусоидального тока

Ка = (2-17)

Коэффициент формы Кф- это отношение действующего значения периодически изменяющейся функции к её среднему значению за полпериода. Для синусоидального тока

Кф = (2-18)

Для несинусоидальных периодических токов Ка и Кф . Это отклонение косвенно свидетельствует о том, насколько несинусоидальный ток отличается от синусоидального.

2-5. Изображение синусоидально изменяющихся величин векторами на комплексной плоскости. Комплексная амплитуда. Комплекс действующего значения

Рис. 2-6. Комплексная плоскость.

На рис. 2-6 дана комплексная плоскость, на которой можно изобразить комплексные числа. Комплексное число имеет действительную (вещественную) и мнимую части. По оси абсцисс откладывается действительная часть комплексного числа, а по оси ординат – мнимая часть. На оси действительных значений ставят значок +1, а на оси мнимых значений – значок +j (j= ).

Сразу отметим, что далее пригодится:

j²= - 1; -j²=1; (2-19)

Из курса математики известно формула Эйлера:

(2-20)

Комплексное число изображают на комплексной плоскости вектором, численно равным единице и составляющим угол α с осью вещественных значений, т.е. с осью +1. Угол α отсчитывается против часовой стрелки от оси +1. Модуль функции равен единице. Действительно:

Проекция функции на ось +1 равна cosα, а на ось +j равна sinα.

Если вместо функции взять функцию , то

(2-21)

Рис. 2-7. Комплексная плоскость

На комплексной плоскости функция (2-21) как и функция изобразится вектором под углом α к вещественной оси +1, по величине вектора будет в раз больше.

Угол α в формуле (2-20) может быть любым. Предположим, что , т.е. что угол α изменяется пропорционально времени.

Тогда:

(2-22)

Рис. 2-8. Комплексная плоскость

Слагаемое представляет собой действительную часть (Re) выражения :

, (2-23)

а, функция представляют собой мнимую часть (Im) выражения :

(2-24)

Таким образом синусоидально изменяющийся ток i можно представить как мнимую часть вектора , или, что то же самое, как проекцию вращающегося вектора на мнимую ось +j (рис. 2-8).

С целью единообразия принято на комплексной плоскости изображать векторы синусоидально изменяющихся во времени величин для момента времени . При этом вектор будет

, (2-25)

где - комплексная величина; модуль её равен , а угол под которым проведён к оси +1 на комплексной плоскости равен начальной фазе ψ.

Величину называют комплексной амплитудой тока i . Комплексная амплитуда изображает ток i на комплексной плоскости для момента времени .

Рассмотрим два примера на переход от мгновенного значения тока к комплексной амплитуде и от комплексной амплитуды к мгновенному значению.

Пример 1. Ток .

Записать выражение комплексной амплитуды этого тока.

Следовательно

Пример 2. Комплексная амплитуда тока Записать выражение для мгновенного значения этого тока.

Согласно формуле (2-24) записываем

Под комплексом действующего значения тока понимают частное от деления комплексной амплитуды тока на :