РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ.
Рядом Тейлора для функции называется степенной ряд вида
Если а=0, то получим частный случай ряда Тейлора
Который называется рядом Маклорена.
Степенной ряд внутри его промежутка сходимости можно почленно дифференцировать и интегрировать сколько угодно раз, причём полученные ряды имеют тот же промежуток сходимости, что и исходный ряд.
Два степенных ряда можно почленно складывать и умножать по правилам сложения и умножения многочленов. При этом промежуток сходимости полученного нового ряда совпадает с общей частью промежутков сходимости исходных рядов.
Для разложения функции в ряд Маклорена необходимо:
1) вычислить значения функции и её последовательных производных в точке х=0, т.е. , ,
2) составить ряд Маклорена, подставив значения функции и её последовательных производных в формулу
3) найти промежуток сходимости полученного ряда по формуле
для разложения функции в ряд Тейлора необходимо:
1) Вычислить значения функции и её последовательных производных в точке х=а, т.е.
2) Составить ряд Тейлора, подставив значения функции и её последовательных производных в формулу.
3) Найти промежуток сходимости по формуле.
26. Разложить в ряд Маклорена функцию:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ;
5) ; 6) ; 7) ; 8) ;
9) ; 10) .
1) Вычислим значения функции и её производных при х=0; имеем (n=1, 2, 3,…).
Подставив эти значения в формулу, получим разложение функции в ряд Маклорена:
Этот ряд называется экспоненциальным рядом.
Промежуток сходимости найдём по формуле
; ;
, т.е. .
Полученный ряд сходится к функции при любых значениях х, так как в любом промежутке функция и её производные по абсолютной величине ограничены одним и тем же числом.
2) Вычислим значения функции и её производных при х=0, имеем Заметим, что производные чётного порядка а производные нечетного порядка (n=1, 2, 3, 4, …)
Подставив эти значения в формулу, получим разложение синуса в ряд Маклорена:
Промежуток сходимости полученного ряда найдём по формуле
,
Т.е. ряд сходится в промежутке .
3) Рассуждая так же, как и в п. 2, аналогично получаем
Причём этот ряд сходится в промежутке .
4) Вычислим значения функции и её производных при х=0; имеем
Подставив эти значения в формулу, получим разложение функции в ряд Маклорена:
Или
Промежуток сходимости найдём по формуле: . Следовательно, -1<x<1.
При х=-1 и х=1 ряд расходится, поэтому область сходимости ряда – промежуток -1<x<1.
5)I способ. Вычислим значения функции и её производных при х=0; имеем Отсюда следует, что
(n=1, 2, 3, 4, … )
Подставив эти значения в формулу, получим разложение данной функции в ряд Маклорена:
Этот ряд называется логарифмическим рядом.
Промежуток сходимости найдём по формуле: ,
, т.е. -1<x<1.
Исследуем сходимость ряда в точках x=-1 и x=1. При х=-1 ряд расходится как гармонический. При х=1 имеем знакочередующийся ряд
,
Который сходится по признаку Лейбница. Итак, данный ряд сходится в промежутке -1<x<1.
Дата добавления: 2016-03-05; просмотров: 555;