НЕОБХОДИМЫЙ ПРИЗНАК СХОДИМОСТИ РЯДА. ДОСТАТОЧНЫЕ ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ РЯДОМ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ.

Раздел 6. Ряды

Основные понятия

Числовым рядом называется сумма вида

Где числа u₁, u₂, u₃, …. , u_n, … называемые членами ряда, образуют бесконечную последовательность; член u_n называют общим членом ряда.

Суммы:

. . . . . . . . . . .

Составленные из первых членов ряда, называются частичными суммами этого ряда.

Каждому ряду можно сопоставить последовательность частичных сумм S₁, S₂, S₃,…., S_n Если при бесконечном возрастании номера n частичная сумма ряда S_n стремится к пределу S, то ряд называется сходящимся, а число S – суммой сходящегося ряда, т.е.

или

Эта запись равносильна записи

Если частичная сумма S_n ряда при неограниченном возрастании n не имеет конечного предела ( в частности, стремится к +х или к – бесконечность), то такой ряд называют расходящимся.

Если ряд сходится, то значение S_n при достаточно большом n является приближенным выражением суммы ряда S.

Разность r_n=S-S_n называется остатком ряда. Если ряд сходится, то его остаток стремится к нулю, т.е. , и наоборот, если остаток стремится к нулю, то ряд сходится.

2. Геометрический ряд. Рассмотрим несколько случаев нахождения частичной суммы первых n членов ряда , образованного из членов геометрической прогрессии.

1) . Для нахождения частичной суммы S_n воспользуемся формулой суммы членов убывающей геометрической прогрессии:

где a₁ – первый член, a_n=a₁qⁿ^-1 – n –ый член, q – знаменатель прогрессии.

Следовательно

Находим сумму ряда:

Поскольку первое слагаемое под знаком предела является постоянным, а второе – бесконечно малой величиной (qⁿ->0 при n-> ). Таким образом, в данном случае ряд сходится, а его сумма есть .

2) . Частичную сумму S_n найдём по формуле суммы членов возрастающей геометрической прогрессии:

Тогда сумма ряда

Так как первое слагаемое под знаком предела есть бесконечно большая величина ( при ). В этом случае ряд расходится.

3) q=1. Находим

Следовательно . Значит в данном случае ряд расходится.

4) q=-1. Имеем.

S₁=a

S₂=a-a=0

S₃=a-a+a=a

S₄=a-a+a-a=0

. . . . . . . . . . . . . .

Т.е. S_n=0 при n четном и S_n=a при n нечётном. Отсюда следует, что последовательность частичных сумм не имеет предела и, значит, ряд расходится.

Итак, данный ряд сходится при и расходится при . Ряд вида будем называть геометрическим рядом.

3. Гармонический ряд. Ряд вида

называется гармоническим.

Запишем частичную сумму этого ряда:

Сумма S_n больше суммы представленной следующим образцом:

Или

Если , то

, или .

Следовательно, если , то , т.е. гармонический ряд расходится.

Записать ряд по его заданному общему члену: 1) ;2) ;3)

1) Полагая n=1, n=2, n=3, … , имеем бесконечную последовательность чисел: ; ; ; …. , .Сложив её члены, получим ряд

2) Поступая так же, получим ряд

3) Придавая n значения 1, 2, 3, … и учитывая, что 1!=1, 2!=1*2, 3!=1*2*3,…, получим ряд

2. Найти n-й член ряда по его данным первым членам:

1) ; 2) ; 3)

1) Знаменатели членов ряда, начиная с третьего, являются нечётными числами; следовательно, n-й член ряда имеет вид

2) Числители членов ряда представляют собой квадратные корни из натуральных чисел, а их соответствующие знаменатели равны n!. Знаки чередуются по закону(-1)ⁿ . Общий член ряда имеет вид

3) Числители членов ряда образуют натуральный ряд чисел, а соответствующие им знаменатели – натуральный ряд чисел, начиная с 3. Знаки чередуются по закону или

3. Найти сумму членов ряда:

1) Находим частичные суммы членов ряда:

^; ; ;

Запишем последовательность частичных сумм: .

Общий член этой последовательности есть . Следовательно,

Последовательность частичных сумм имеет предел, равный ½. Итак, ряд сходится и его сумма равна ½.

2 ) Это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, в которой a₁=1/2 , q=1/2. Используя формулу , получим . Значит, ряд сходится и его сумма равна 1.

4. Найдите первые пять членов ряда по его заданному общему члену:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5)

5. Найдите первые четыре члена ряда по его заданному общему члену:

1) ; 2) ; 3) ; 4)

6. Найдите n-й член ряда по его данным первым членам:

1) ; 2) ; 3)

7. Найдите формулу общего члена ряда по его данным первым членам:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

8. Вычислите сумму членов ряда:

НЕОБХОДИМЫЙ ПРИЗНАК СХОДИМОСТИ РЯДА. ДОСТАТОЧНЫЕ ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ РЯДОМ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ.

1.Необходимый признак сходимости ряда. Ряд может сходиться только при условии, что его общий член u_n при неограниченном увеличении номера n стремится к нулю : ,

Если , то ряд расходится – это достаточный признак расходимости ряда.

2. Достаточные признаки сходимости ряда с положительными членами.

А) Признак сравнения рядов с положительными членами. Исследуемый ряд сходится, если его члены не превосходят соответствующих членов другого, заведомо сходящегося ряда: исследуемый ряд расходится, если его члены превосходят соответствующие члены другого заведомо расходящегося ряда. При исследовании рядов на сходимость и расходимость по этому признаку часто используется геометрический ряд

Который сходится при и расходится при , и гармонический ряд

Являющийся расходящимся.

При исследовании рядов используется также обобщенный гармонический ряд

Если p=1, то данный ряд обращается в гармонический ряд, который является расходящимся.

Если p<1, то члены данного ряда больше соответствующих членов гармонического ряда и, значит, он расходится. При p>1 имеем геометрический ряд, в котором : он является сходящимся. Итак, обобщённый гармонический ряд сходится при p>1 и расходится при .

Б) Признак Даламбера. Если для ряда с положительными членами

Выполняется условие , то ряд сходится при l<1 и расходится при l>1.

Признак Даламбера не даёт ответа, если l=1. В этом случае для исследования ряда применяются другие сравнения:

1) Находим . Необходимый признак сходимости ряда выполняется, но для решения вопроса о сходимости нужно применить один из достаточных признаков сходимости. Сравним данный ряд с геометрическим рядом.

Который сходится, так как q=1/2<1.

Сравнивая члены данного ряда, начиная со второго, с соответствующими членами геометрического ряда, получаем неравенства

; ; …. ; ; ….,

Т.е. члены данного ряда, начиная со второго, соответственно меньше членов геометрического ряда, откуда следует, что данный ряд сходится.

2) Имеем ,

Здесь выполняется достаточный признак расходимости ряда; следовательно, ряд расходится. При сравнении данного ряда с гармоническим также убеждаемся, что ряд расходится.

3) Находим . Необходимый признак сходимости ряда выполняется. Сравним данный ряд с обобщённым гармоническим рядом

Который сходится, поскольку p=3/2>1. Следовательно, сходится и данный ряд.

4) Находим . Сравним данный ряд с гармоническим рядом

Для всех выполняется неравенство ; следовательно, ряд расходится, так как его члены превосходят соответствующие члены гармонического (расходящегося) ряда.

10. Исследовать сходимость ряда, используя признак Даламбера:

1) Подставив в общий член ряда вместо n число n+1, получим . Найдём предел отношения (n+1)-ого члена к n-му члену при :

Следовательно, данный ряд сходится.

2) Имеем ; ;

Значит, данный ряд расходится.

3) Имеем ; ;

;

Т.е. ряд расходится.

11. Исследуйте сходимость ряда, применяя необходимый признак и один из признаков сравнения:

12. Исследуйте сходимость ряда, используя признак Даламбера:

13. Исследуйте сходимость ряда:

3. ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ И ЗНАКОЧЕРЕДУЮЩИЕСЯ РЯДЫ. АБСОЛЮТНАЯ И УСЛОВНАЯ СХОДИМОСТЬ. ПРИЗНАК СХОДИМОСТИ ЛЕЙБНИЦА ДЛЯ ЗНАКОЧЕРЕДУЮЩИХСЯ РЯДОВ.

Числовой ряд

Называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные числа.

Числовой ряд называется знакочередующимся, если любые два стоящие рядом члена имеют противоположные знаки. Этот ряд является частным случаем знакопеременного ряда.

Признак сходимости Лейбница для знакочередующихся рядов. Если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по абсолютной величине и общий член u_n стремится к нулю при , то ряд сходится.

Этот признак служит достаточным признаком сходимости знакочередующихся рядов.

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд

Составленный из абсолютных величин его членов, т.е. всякий абсолютно сходящийся ряд является сходящимся.

Если знакопеременный ряд сходится, а составленный из абсолютных величин его членов ряд расходится, то данный ряд называется условно (неабсолютно) сходящимся. Заметим, что из расходимости ряда в общем случае не следует расходимость ряда.

Для установления абсолютной сходимости знакопеременного (и знакочередующегося) ряда используются те же признаки, что и для сходимости ряда с положительными членами.

Для решения вопроса об абсолютной или условной сходимости знакочередующегося ряда необходимо рассмотреть ряд, составленный из абсолютных величин членов знакочередующегося ряда.

Если при исследовании этого ряда с помощью одного из признаков сходимости (признака Даламбера, признака сравнения рядов) ряд окажется сходящимся, то данный знакочередующийся ряд сходится абсолютно; если же ряд окажется расходящимся, то знакочередующийся ряд сходится условно.

14. Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) знакочередующийся ряд:

1) Члены данного ряда по абсолютной величине монотонно убывают: и . Следовательно, согласно признаку Лейбница, ряд сходится. Выясним, сходится ли этот ряд абсолютно или условно.

Ряд составленный из абсолютных величин членов данного ряда, является гармоническим рядом, который, как известно, расходится. Поэтому данный ряд сходится условно.

2) Члены данного ряда по абсолютной величине монотонно убывают: но

Ряд расходится, так как признак Лейбница не выполняется.

3) Используя признак Лейбница, получим

; , т.е. ряд сходится.

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:

Это геометрический ряд вида который сходится. Поэтому данный ряд сходится абсолютно.

4) Используя признак Лейбница, имеем

, т.е. ряд сходится.

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин данного ряда:

Или

Это обобщённый гармонический ряд, который расходится, так как p=1/2<1.

Следовательно, данный ряд сходится условно.

15. Исследовать сходимость знакопеременного ряда.

Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда:

Для исследования этого применим признак Даламбера. Имеем

; ;

Ряд, составленный из абсолютных величин, сходится; следовательно, данный знакопеременный ряд сходится абсолютно.

16. Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) знакочередующиеся ряды:

4. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ.

Степенным рядом называется ряд вида

Где числа a₀, a₁, a₂, … , a_n, … называются коэффициентами ряда, а член - общим членом ряда.

Областью сходимости степенного ряда называется множество всех значений х , при которых данный ряд сходится.

Число R называется радиусом сходимости ряда, если при ряд сходится и при этом абсолютно, а при ряд расходится.

Радиус сходимости R можно найти, используя признак Даламбера:

(х не зависти от n), откуда

Т.е. если ряд сходится при любых х, удовлетворяющих условию и расходится при

Отсюда следует, что если существует предел

То радиус сходимости ряда R равен этому пределу и ряд сходится при , т.е. в промежутке –R<x<R , который называется промежутком (интервалом) сходимости.

Если предел равен нулю (R=0), то ряд сходится в единственной точке x=0.

На концах промежутка ряд может сходиться (абсолютно или условно), но может и расходиться. Сходимость ряда при х=-R и х=R исследуется с помощью какого-либо из признаков сходимости.

21. Дан ряд

Исследовать его сходимость в точках х=1, х=3, х=-2.

При х=1 данный ряд превращается в числовой ряд

Исследуем сходимость этого ряда по признаку Даламбера. Имеем

; ;

, т.е. ряд сходится.

При х=3 получим ряд

Или 1+2+3+…+n+… ,

Который расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости ряда. .

При х=-2 получим

Или

Этот знакочередующийся ряд, который, согласно признаку Лейбница, сходится.

Итак, в точках х=1 и х=-2 ряд сходится, а в точке х=3 расходится.

22. Найти промежуток сходимости степенного ряда:

1) Используя формулу получим

;

Следовательно, промежуток сходимости есть , т.е. данный ряд сходится на всей числовой оси.

2) Согласно формуле, находим

;

Ряд сходится только в одной точке x=0.

3) Используя формулу, получим

; ; ; .

Следовательно, данный ряд сходится абсолютно при -1<x<1.

Исследуем сходимость ряда в точках х=-1, и х=1. При х=-1 имеем ряд

Это знакочередующийся ряд, который в силу признака Лейбница сходится.

При х=1 имеем ряд

Или

Это обобщённый гармонический ряд, который расходится, так как p=1/2<1. Отсюда следует, что данный ряд сходится при -1 .

4) Согласно формуле, получим

; ; ;

Ряд сходится в промежутке -1<x<1.

Исследуем сходимость ряда в точках x=-1 u x=1. При х=-1 имеем знакочередующийся ряд

В силу признака Лейбница он сходится. Ряд

Составленный из абсолютных величин его членов, есть обобщённый гармонический ряд, который сходится, так как р=2>1.

При х=1 имеем тот же сходящийся обобщённый гармонический ряд. Следовательно, данный ряд сходится в промежутке -1 .

5) Полагая х-1=у, получим ряд . Используя формулу имеем

; ; = ;

Получили промежуток -1/2<у<1/2. Исследуем сходимость ряда в точках у=-1/2 и у=1/2. При у=-1/2 имеем ряд , который расходится. При у=1/2 имеем ряд , который также расходится. Следовательно, ряд (*) сходится в промежутке -1/2<у<1/2.