Построение графиков в полярных координатах

Полярная система координат состоит из заданной фиксированной точки O, называемой полюсом, концентрических окружностей с центром в полюсе и лучей, выходящих из точки O, один из которых OX – полярная ось.

Расположение любой точки M в полярных координатах можно задать положительным числом ρ=|ОМ|, равным расстоянию от полюса до точки, и числом φ,равным величине угла ХОМ (полярный угол); ρ и φ называют полярными координатами точки M, и точку обозначают M(ρ, φ).Для формирования графика в полярных координатах используется функция polar(φ, ρ, s),где φ – массив полярных углов,ρ – массив значений полярных радиусов точек, образующих графики, s – строка, состоящая из трех символов, которые определяют цвет линии, тип маркера и тип линии.

Пусть требуется построить график функции r(φ)=5cos(2-7φ). При построении в полярных координатах будем изменять аргумент от 0 до 2p(рис. 20).

Необходимо сформировать массивы значений полярного угла φ и полярного радиуса r (аргументом является угол):

>> fi=0:0.01:2*pi;

>> r=5*cos(2-7*fi);

>> рolar(fi, r);

Можно также указать тип и цвет линий, тогда

>>fi=0:pi/200:2*pi;

>> r=5*cos(2-7*fi);

>> рolar(fi, r,'r*-');’

Рис. 20

Для построения траектории движения точки на плоскости (анимация) предусмотрена функция comet, а для построения
траектории движения точки в трехмерном пространстве – функ-
ция comet3. Это простой способ создать анимированное изображение.

Изобразим движение точки по траектории, заданной параметрически (рис. 21):

>> t=0:0.005:2*pi;

>> x=cos(5*t).*(t+5);

>> y=sin(5*t).*(t+5);

>> comet(x,y)

Рис. 21

Построим траекторию движения точки в пространстве (рис. 22):

>> t=-10*pi:pi/300:10*pi;

>> x=(sin(t).^3).*cos(t);

>> y=(cos(t).^3).*sin(t);

>> comet3(x,y,t)

Рис. 22

Для более сложной анимации можно использовать команды getframe и movieview. Команда getframe захватывает активное окно изображения в один кадр фильма, а команда movieview воспроизводит результат в отдельном окне. Приведенные ниже команды воспроизводят кадры с вибрирующей струной:

>>x=0:0.01:1;

>>for n=0:50

>>plot(x,sin(n*pi/5)*sin(pi*x)),axis([0,1,-2,2])

>>m(n+1)=getframe;

>>end

>>movieview(m)

В приведенном выше примере для организации цикла используется оператор for, работа которого будет описана далее.

Трехмерная графика

График поверхности (трехмерный график) – это график, положение точки в котором определяется значениями трех координат. Трехмерным аналогом функции plot является функция plot3, которая позволяет создавать трехмерные линии. Если есть три вектора x, y, z, задающих координаты точек в трехмерном пространстве, то при выполнении функции plot3(x,y,z), построится трехмерная линия на плоскости.

Пусть требуется построить график линии, заданной форму-лами

x=2sin(t+p/2),

y=2cos(t+p/2),

z=t,где t принадлежитдиапазону [0, 8p]

>> t=0:pi/100:8*pi;

>> x=2*sin(t+pi/2);

>> y=2*cos(t+pi/2);

>> z=t;

>> plot3(x,y,z);

>> axis square;

>> grid on

Построилась винтовая линия (спираль) (рис. 23).

Рис. 23

Функция plot3, так же как и plot, может иметь дополнительный аргумент, задающий параметры линии (тип линии, цвет и тип маркера). Например, plot3(x,y,z, ‘g*’).

Можно также использовать команду ezplot3:

>> ezplot3('cos(2*pi*t)','sin(2*pi*t)','t',[-2,2])

Для вычерчивания каркасных поверхностей в трехмер-
ном пространстве существуют две основные функции: mesh
и surf.

Команда mesh(Z) строит прозрачную сетчатую поверхность, а команда surf(Z) –затененную, где Z – матрица, значения элементов которой определяют соответствующие координаты на графике. Построим прозрачную поверхность для единичной матрицы, задав команды:

>>Z=eye(8);

>>mesh(Z)

Результат показан на рис. 24.

Рис. 24

По главной диагонали расположены “пики” – единицы.

Аналогично, задав команду

>>surf(Z)

получим затененную поверхность (рис. 25).

Рис. 25

Для построения в трехмерном пространстве функции от двух переменных Z(X, Y) необходимо сначала с помощью векторов x и y задать прямоугольную сетку, которая будет использоваться как основание для построения трехмерной поверхности. Для этого надо воспользоваться функцией meshgrid, которая создает эту сетку из точек в прямоугольной области с заданными интервалами. Диапазоны значений по осям x и y задаются векторами x и y соответственно. Имена векторов и матриц могут различаться.

Пусть значения по осям x и y заданы векторами x и y:

>> x=[1 2 3];

>> y=[4 5 6];

Сформируем матрицы X и Y с помощью функции meshgrid:

>> [X,Y]=meshgrid (x,y)

X =

1 2 3

1 2 3

1 2 3

Y =

4 4 4

5 5 5

6 6 6

На основе векторов x и y формируются две матрицы, в которые записываются координаты узлов сетки. Матрица X содержит одинаковые строки, в которых заданы координаты X. Матрица Y содержит одинаковые столбцы, в которых заданы координаты Y. Наложение матриц X и Y позволяет получить пары (x_i и y_j), для которых в дальнейшем вычисляется значение функции Z. Значения функции в узлах сетки записываются в матрицу Z, размерность которой равна размерности матриц X и Y.

Построим график функции, которая имеет вид на заданном интервале х от -2до2и от y от -4до4с шагом, рав-
ным0,1.

Зададим два вектора x и y, используя запись

>>x =-2 : 0.1: 2;

>>y=-4 : 0.1 :4;

Далее вызывается команда

>>[X, Y]=meshgrid(x, y);

Значения векторов можно указать прямо внутри команды meshgrid(-2:0.1:2,-4:0.1:4). Если оба вектора одинаковые, то можно записать: [X, Y]= meshgrid(x).

Создаётся прямоугольная сетка с шагом 0,1, которая используется для построения трехмерной поверхности. Каждому значению x ставится в соответствие каждое значение y. Для каждой пары x_i y_j (в узлах сетки) будет вычислено значение функции Z.
В результате сформируется матрица из вычисленных значений функции. После этого можно вызвать команду для вывода изображения на экран.

Ниже приведен пример построения графика с использованием функции plot3 (рис. 26):

>>x=-2:0.1:2;

>>y=-4:0.1:4;

>>[X, Y]=meshgrid(x, y);

>>Z=2*X.*exp(-X.^2 - Y.^2);

>>plot3(X, Y, Z)

>>grid

Рис. 26

Более наглядные графики получаются с использованием функции mesh (рис. 27).

>> mesh(X,Y,Z)

Рис. 27

Линии на разных участках графика окрашены в разные цвета. Эти цвета соответствуют значениям функции. По умолчанию оттенки красного цвета соответствуют большим значениям функции, а синего – меньшим.

Можно сделать “прозрачной” каркасную поверхность, отобразив ее скрытые части, применив команду hidden off. Отмена – hidden on.

Если использовать функцию meshz(X,Y,Z), то будет видно основание, на котором построен график.

Пример построения сферы.Пусть необходимо начертить
поверхность, которая не может быть представлена выражением z=f( x,y), например сферу x²+y²+z²=1. В этом случае параметры поверхности можно задать, используя подходящую координатную систему, например, сферические координаты. Можно взять в качестве параметров вертикальную координату z и полярную координату q на плоскости x-y.

Если r обозначает расстояние до оси z, то тогда выражение
для сферы становится r² + z²=1, или , отсюда , .

Построение сферической поверхности можно выполнить командами

>>[z,t]=meshgrid(-1: 0.1: 1, (0:0.1:2)*pi);

Вектор значений Z Вектор значений t от 0 до 2 π

>>x=sqrt(1-z.^2).*cos(t);

>>y=sqrt(1-z.^2).*sin(t);

>>surf(x,y,z)

>>axis square

Результат приведен на рис. 28.

Рис. 28

Все трехмерные графики, которые мы строили, можно было видеть только из одной точки обзора, т.е. позиции, с которой мы видим трехмерное изображение. В ML можно изменять точку обзора. Эта точка характеризуется двумя параметрами: азимутом (Az) и углом возвышения (El). Азимут определяет угол поворота вокруг оси z и отсчитывается от оси, противоположной y, в направлении против часовой стрелки. Угол возвышения – это угол между отрезком, направленным из начала координат в точку обзора, и плоскостью xy. Точку обзора можно менять программно,
используя функцию view (Az,El) или более просто, используя
специальную кнопку на панели инструментов графического окна Figure – Rotate 3D.

Программирование

Система ML предоставляет пользователю для решения различных задач мощный язык программирования высокого уровня, понятный непрофессиональным программистам. До сих пор все вычисления и операции мы производили в режиме прямых вычислений. Для эффективной работы с большими наборами команд этого недостаточно. Гораздо лучше было бы записать этот набор команд в виде программы и сохранить ее на диске. Программа представляет собой последовательность команд, записанных
на языкеML(программный код), и сохраняется на диске в виде
m-файла.

Создать m-файл можно с помощью любого текстового редактора, но в ML предусмотрен собственный встроенный редактор EDITOR, который имеет удобные средства для создания и отладки программ.Написанный текст программы студенты должны сохранять в файле на диске, куда разрешена запись, задав ему имя (имя файла и имя каталога не должны содержать русских букв). Этот файл будет иметь расширение .m. Чтобы войти в текстовый редактор, надо выбрать пункт меню File, New, m-file. В редакторе m-файлов можно не только набрать текст программы, но и запустить ее на выполнение. Для сохранения программы на диске надо выбрать пункт меню File, Save as, <имя m-файла>.

m-файлы могут быть двух видов: файл-программа,или Script-файл (Script m-File), и файл-функция (Function m-File).

Файлы-программы называют Script-файлами, или сценариями. Они состоят из последовательности команд и не имеют входных и выходных параметров. Они обычно используются для автоматизации выполнения большого набора команд. Вызов Script-файла осуществляется просто указанием его имени.

В файлах-функциях описываются функции, определяемые пользователем. Они могут иметь входные и выходные значения. Обращение к файлу-функции осуществляется указанием имени и в круглых скобках списка параметров.

Операторы языка

Программа может иметь комментарии. Символ %означает, что далее следует поясняющий текст. Все комментарии начинаются с этого знака. Комментарий не является исполняемым оператором.

Вывод комментариев на экран при выполнении программы обеспечивает операторecho on. Отменяет вывод комментариев на экран оператор echo off. Оператор pauseприостанавливает выполнение программы и ожидает нажатия любой клавиши для продолжения. Оператор pause(n) создает паузу в n секунд.

Операторами языка можно пользоваться как при создании программ, так и в режиме прямых вычислений.