Основные определения. Введем понятия из теории моделей в том объеме, в котором они пона­добятся для дальнейшего изложения

Введем понятия из теории моделей в том объеме, в котором они пона­добятся для дальнейшего изложения. Согласно терминологии работы [129], многосортная алгебра A = <(sA)sÎS, (fA)fÎF> состоит из семей­ства множеств-носителей sA и семейства частичных функций fA:

fA : s1A ´ s2A ´ ... ´ sn-1A® snA, n³0,

Сигнатура S = (S, F) состоит из непустого множества S — символов для обозначения индексов множеств-носителей, называемых также сор­тами, и непустого множества F функциональных символов, каждому из которых приписана схема отображения

f : s1 ´ s2 ´ ... ´ sn-1® sn, n³0,

означающая запись арности функции, сортность ее аргументов и резуль­тата.

Для сигнатуры S = (S,F) многосортная алгебра A = <(sA)sÎS, (fA)fÎF> называется S-алгеброй, если схемы отображений для всех fÎ F согла­сованы с соответствующими отображениями fA.

Пусть задана сигнатура S = (S,F). С каждым сортом s Î S свяжем счетное множество Xs переменных и определим множество термов TR и функцию тип : TR —> S следующим образом:

- всякая переменная х Î Xs есть терм, причем тип(х) = s;

- всякий нульарный функциональный символ (константа) fÎ F со схемой отображения f: х ® s есть терм, причем mun(f) = s;

- если fÎ F имеет схему f : s1 ´ ... ´ sn-1 ® sn и t1, t2, …, tn-1 — термы, где mun(t1) = s1, ..., mun{tn-1} = sn-1, то f(t1, t2,... , tn-1) — терм, mun(f(t1, t2,..., tn-1)) = sn.

Заметим, что везде в дальнейшем предикатные символы рассматри­ваются как функциональные со схемой отображения в специальный вы­деленный сорт BOOLA = {0,1}.

В дальнейшем считаем заданными сигнатуруΣ = (S, F) и ΣалгебруA=<(sA)sÎS, (fA)fÎF>.

Определение 1. Назовем фактом упорядоченный список вида (fA,e1,...,en),

где fÎ F, f : s1 ´ s2 ´ ... ´ sn-1 ® sn, ei Î TR, mun(ei) = si, i = 1...n.

В этих обозначениях ситуацией назовем конечную конъюнкцию фак­тов. В дальнейшем через D будем обозначать множество всевозможных ситуаций. Заметим, что понятие ситуации соответствует понятию теку­щего состояния базы данных или рабочей памяти.

Проиллюстрируем введенные понятия простым примером. Рассмо­трим алгебраическую систему

A = < (R, BOОLA), (+, -, *, ³) >,

где R — множество вещественных чисел, BOOLA={0,1}; +, —, *, ³ — обычные операции и отношения над числами. Переменные будем обо­значать буквами x, у, z. Тогда уравнение х+у =5 запишется в виде следующего факта: (+, x, y, 5), а система соотношений х+y=5,y³ 0, х £ 3 в виде ситуации:

d0 = (+, x, y,5) Ù (³, у, 0,1) Ù (³, 3, x, 1)

Если все еi, (i = 1... n) в факте суть константы, то факт назовем терминальным. Поскольку среди фактов ситуации могут быть нетерми­нальные, то, в общем случае, ей соответствует неединственный набор множеств носителей алгебраической системы.

Для простоты изложения в дальнейшем ограничим термы в опре­делении факта константами и переменными, что не нарушает общности изложения, поскольку термы с функциональными символами могут быть записаны в ситуации без них увеличением числа переменных. Например, отношение х+ у ³ 2 запишется в виде (+, х, у, z) Ù (³, z, 2,1).

Определенная таким образом ситуация представляет собой множество конъюнктивно-связанных фактов, и поэтому в дальнейшем будем обра­щаться с нею как с множеством, используя операции объединения È, пересечения Ç, разности \ и отношение включения Ê.

Обозначим через var{d) множество имен переменных, входящих в си­туацию d, а через T(d) = {mun(x)½x Î var(d)} — множество типов пере­менных, входящих в факты ситуации d.

Традиционным образом введем понятие подстановки

q= {t1/v1, t2/v2, ..., tm/vm},

где ti термы, vi — переменные, mun(ti) = mun(vi), i = 1...т. За­пись dq означает результат одновременной замены каждого вхождения переменной vi, в d на соответствующий терм ti.

Подстановку q = {x1/y1, x2/y2, ..., xm/ym}, где xi, уi, (i = 1...m) — переменные, назовем алфавитным вариантом. Для каждого алфавитного варианта определена обратная к нему подстановка q -1 при условии, что между переменными определено взаимно - однозначное соответствие.

Определение 2. Две ситуации d и d' назовем эквивалентными (d º d'), если найдется алфавитный вариант q такой, что

d Ê d' q и d' Ê dq -1.

Пусть, например, задана подстановка q = {3/x, z/y}. Тогда ее при­менение к ситуации d0, приведенной выше, дает

d0 q = (+, 3, z, 5) Ù (³, z, 0,1) Ù (³, 3, 3, 1).

Очевидно, что относительно терминальных фактов, каким, например, является (³,3,3,1), в заданной алгебраической системе всегда можно говорить, истинны они или ложны. Все истинные терминальные фак­ты опускаются при дальнейшем рассмотрении, так как они являются тавтологиями. Таким образом, ситуация d0 q эквивалента ситуации

d0 q = (+, 3, z, 5) Ù (³, z, 0,1).

Если при подстановке появляется ложный терминальный факт, то считается, что подстановка неприменима к заданной ситуации.








Дата добавления: 2016-03-05; просмотров: 598;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.01 сек.