Формула Бернулли применяется для небольших n.

Асимптотические формулы n → ∞

Формула Муавра – Лапласа

n достаточно велико (n ≥ 10) n ≠ 0; p ≠ 1.

пример. Найти вероятность, что А появится 40 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления А в каждом испытании 0,2.

Решение

Формула Пуассона

n достаточно велико; p – мало.

пример. Учебник издан тиражом 100000 экземпляров. Вероятность того, что он сброшюрован неправильно 0,0001. Найти вероятность, что тираж содержит 5 бракованных книг.

Решение

n = 100000; p = 0,0001; k = 5; np = 10, формула Пуассона.

Интегральная теорема Лапласа

Функция Лапласа вводится

Φ(x) – задана таблично, причем Φ(– x) = Φ(x), x > 5, можно считать, что Φ(x) = 0,5.

пример. Вероятность появления события в каждом из ста испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что событие появится:

а) не менее 75, не более 90;

б) не менее 75;

в) не более 74.

Решение

n = 100; p = 0,8; q = 0,2.

Утверждение.

Пусть

Тогда

Доказательство

▲

относительная частота появления А в n испытаниях.

пример. Сколько раз нужно бросить монету, чтобы с вероятностью 0,6 можно было ожидать, что отклонение относительной частоты от вероятности окажется не более 0,01.

Решение