Выявление размерной цепи в практике использования теории размерных цепей, является наиболее сложным. Каждой задаче соответствует только одна, единственная размерная цепь.

Выявление любой размерной цепи начинается с нахождения ее замыкающего звена.

Смысл задачи, возникающей при конструировании, изготовлении или измерении изделия связывается с замыкающим звеном.

При конструировании изделия переход от поставленной задачи к нахождению замыкающего звена заключается в выявлении такого линейного или углового размера, от значения которого полностью зависит решение поставленной задачи.

При изготовлении изделия замыкающим звеном размерной цепи является размер, точность которого должна быть обеспечена технологическим процессом.

При измерении замыкающим звеном является измеренный размер.

Допуск замыкающего звена устанавливается следующим образом:

· в конструкторских размерных цепях исходя из служебного назначения;

· в технологических размерных цепях в соответствии с допуском, который необходимо получить в результате осуществления технологического процесса;

· в измерительных размерных цепях исходя из требуемой точности измерения.

Выявив замыкающее звено, приступают к нахождению составляющих звеньев размерной цепи. Составляющими звеньями конструкторских размерных цепей могут быть:

· расстояния (относительные повороты) между поверхностями (их осями) деталей, образующих замыкающее звено, и основными базами этих деталей;

· расстояния (относительные повороты) между поверхностями вспомогательных и основных баз деталей, непосредственно участвующих в решении поставленной задачи своими размерами.

Для нахождения размерной цепи следует идти от поверхностей( или их осей) деталей, образующих замыкающее звено, к основным базам этих деталей, от них – к основным базам деталей, базирующих первые детали, до образования замкнутого контура (рис.8.8). Несовпадения (зазоры, несоосности) основных и вспомогательных баз соединяемых деталей учитываются отдельными звеньями.

Рис.8.8. Выявление размерной цепи.

ЛЕКЦИЯ 9

9. Методы расчета размерных цепей. Методы достижения точности

9.1. Методы расчета размерных цепей

Размерные цепи являются одной из разновидностей связей, действующих в машине и производственном процессе ее изготовления. Поэтому все теоретические положения о связях распространяются на размерные цепи в той же мере, как и на другие виды связей.

Количественную связь замыкающего звена с составляющими звеньями отражает уравнение размерной цепи:

Из схемы плоской размерной цепи А с параллельными звеньями (рис.9.1) видно, что номинальное значение замыкающего звена равно алгебраической сумме номинальных значений составляющих звеньев, в которой увеличивающие звенья имеют знак "+", а уменьшающие - знак "-":

.

Рис.9.1.Плоская размерная цепь с параллельными звеньями

Влияние составляющих звеньев на замыкающее звено можно учесть в уравнении размерной цепи с помощью передаточных отношений. Это дает возможность записать уравнение размерной цепи в общем виде:

,

где

— порядковый номер составляющего звена;

— передаточное отношение i-го составляющего звена; для плоских размерных цепей с параллельными звеньями;

= 1 для увеличивающих составляющих звеньев,

= –1 для уменьшающих составляющих звеньев.

Согласно количественной связи средних значений функции и аргументов, рассмотренных выше, среднее значение замыкающего звена может быть определено:

Для рассматриваемой размерной цепи (рис.9.1), уравнение будет показано выглядеть так:

.

Но среднее допустимое значение любой величины может быть выражено через ее номинальное значение и координату середины поля допуска: , поэтому:

.

Вычитая из этого уравнения уравнение номиналов размерной цепи получим уравнение координат середин полей допусков:

.

Координата середины поля допуска замыкающего звена плоской размерной цепи с параллельными звеньями равна алгебраической сумме координат середин полей допусков составляющих звеньев с учетом их собственных знаков, т.е.

,

или

Все рассуждения, касающиеся координат середин полей допусков, в полной мере распространяются и на координаты середин полей рассеяния. Поэтому по аналогии будем иметь

или

.

При расчетах полей допусков или полей рассеяния могут быть использованы два метода:

1. расчет на максимум—минимум;

2. вероятностный расчет.

9.1.1. Метод расчета на максимум—минимум

Метод расчета на максимум—минимум учитывает только предельные отклонения звеньев размерной цепи и самые неблагоприятные их сочетания. Например, в размерной цепи показанной на рис.9.2, предельные отклонения замыкающего звена будут при следующих сочетаниях предельных отклонений составляющих звеньев:

; .

Вычитая почленно из первого равенства второе, получим

.

Но разность верхнего и нижнего предельных отклонений какой-то величины есть поле допуска, в пределах которого допустимы ее отклонения, поэтому

.

Это положение действительно и для размерных цепей с числом составляющих звеньев , что дает право записать формулу в общем виде:

,

где – число составляющих звеньев в размерной цепи.

Рис.9.2. Размерная цепь и допуски, ограничивающие отклонения ее звеньев

При суммировании допусков учитывают абсолютные значения передаточных отношений, поскольку значения полей допусков всегда положительны. Это значит, что для плоских размерных цепей с параллельными звеньями

,

так как = 1.

Таким образом, поле допуска замыкающего звена плоской размерной цепи с параллельными звеньями равно сумме абсолютных значений полей допусков всех составляющих звеньев.

Формула, учитывающая связь поля рассеяния значений замыкающего звена (его отклонений) с полями рассеяния значений составляющих звеньев (их отклонений), может быть получена путем аналогичных рассуждений. Таким образом, поле рассеяния замыкающего звена может быть определено:

;

для плоских размерных цепей с параллельными звеньями

.

9.1.2. Теоретико-вероятностный метод расчета

Вероятностный метод расчета учитывает рассеяние размеров и вероятность различных сочетаний отклонений составляющих звеньев размерной цепи.

Теоретическую основу для установления связи между полем допуска замыкающего звена и полями допусков составляющих звеньев размерной цепи дают положения теории вероятностей, касающиеся функции случайных аргументов. Согласно этим положениям

,

где - коэффициент риска, характеризующий процент выхода значений замыкающего звена (его отклонений) за пределы установленного на него допуска; - коэффициент, характеризующий выбираемый теоретический закон рассеяния значений — го составляющего звена (его отклонений).

Возможное поле рассеяния замыкающего звена при известных полях рассеяния , составляющих звеньев, коэффициентах , и выбранном коэффициенте можно рассчитать по формуле

.

В плоских размерных цепях, имеющих звенья, расположенные под углом к выбранному направлению, каждое из таких звеньев можно заменить его проекцией на это направление. Тем самым любую плоскую размерную цепь можно привести к размерной цепи с параллельно расположенными звеньями.

9.2. Методы достижения точности замыкающего звена.

Методы полной и неполной взаимозаменяемости

Обеспечение точности создаваемой машины сводится к достижению требуемой точности замыкающих звеньев размерных цепей, заложенных в ее конструкцию, и размерных цепей, возникающих в процессе изготовления машины. Задача обеспечения требуемой точности замыкающего звена в зависимости от предъявляемых к нему требований, типа и условий производства может быть решена экономично одним из пяти методов: полной, неполной, групповой взаимозаменяемости, пригонки или регулирования.

9.2.1. Метод полной взаимозаменяемости

Сущность метода заключается в том, что требуемая точность замыкающего звена размерной цепи достигается во всех случаях ее реализации путем включения в нее составляющих звеньев без выбора, подбора или изменения их значений.

Сборка изделий при использовании метода полной взаимозаменяемости сводится к механическому соединению взаимозаменяемых деталей. При этом у 100 % собираемых объектов автоматически обеспечивается требуемая точность замыкающих звеньев размерных цепей.

При изготовлении партии деталей на станке метод полной взаимозаменяемости обеспечивает надлежащую точность замыкающих звеньев технологических размерных цепей. Благодаря этому точность выдерживаемых размеров у деталей всей партии будет соответствовать установленному допуску.

Можно привести много примеров использования метода полной взаимозаменяемости как в машиностроении, так и в бытовой технике (взаимозаменяемые детали и узлы автомобилей, телевизоров, холодильников, взаимозаменяемые шарико- и роликоподшипники, крепежные детали). Методом взаимозаменяемости обеспечивается соединение цоколя электрической лампочки с патроном, взаимозаменяемы детали шариковых ручек и т.д.

Широкое использование метода полной взаимозаменяемости в жизни объясняется следующими его преимуществами:

· относительная простота достижения требуемой точности замыкающего звена, так как формирование размерной цепи сводится практически к простому соединению ее составляющих звеньев;

· возможность широкого кооперирования различных цехов и заводов при изготовлении отдельных деталей или сборочных единиц машин;

· возможность выполнения технологических процессов изготовления деталей и особенно сборки машин рабочими невысокой квалификации;

· простота нормирования технологических процессов во времени.

Поля допусков или возможные значения поля рассеяния замыкающего звена рассчитывают по методу максимума-минимума (см. п. 9.1.1) При решении прямой задачи расчет полей допусков сводится к распределению поля допуска замыкающего звена между составляющими звеньями. Такое распределение многовариантно, что характерно для решения любой проектной задачи. Формально все решения будут правильными, если в каждом из них сумма допусков составляющих звеньев будет равна допуску замыкающего звена. Однако не все решения могут быть приемлемыми с точки зрения экономики.

Поэтому распределение значения поля допуска замыкающего звена между составляющими звеньями ведут, сопровождая его хотя бы мысленной оценкой экономической целесообразности устанавливаемого поля допуска на то или иное составляющее звено. Например, при расчете конструкторских размерных цепей обычно учитывают следующее:

· чисто технические возможности достижения задаваемой точности;

· экономичность способов обработки, которые могут быть использованы в процессе изготовления деталей (сведения о средней экономической точности различных методов обработки можно получить в справочниках технолога);

· число изделий, подлежащих изготовлению, во многом влияющее на оценку экономичности метода обработки.

Таким образом, критерием удачного распределения поля допуска замыкающего звена между составляющими звеньями может служить лишь себестоимость решения задачи с помощью рассматриваемой размерной цепи.

Расчет координат середин полей допусков не связан с экономикой. Однако всегда желательно придание полю допуска положения относительно номинального значения составляющего звена, удобного для производственников. Этим объясняется частое задание допуска в "материал" детали и симметрично расположенных допусков.

Рассчитывая координаты, обычно составляют уравнение координат середин полей допусков и, используя формулы, приведенные выше (см. п.9.1), устанавливают значения координат середин полей допусков составляющих звеньев, за исключением одного. Решая уравнение с одним неизвестным, находят недостающую координату середины поля допуска.

При расчете полей допусков и координат их середин часты случаи, когда приходится учитывать ограничения, установленные стандартами и другими нормативными материалами. Обязательность их учета не затрагивает существа расчетов и их методической направленности.

Правильность рассчитанных допусков может быть проверена путем определения по установленным значениям полей допусков составляющих звеньев и координат их середин предельных отклонений замыкающего звена и сопоставления их с условиями задачи.

Предельные отклонения замыкающего звена могут быть найдены по следующим формулам:

;

Метод полной взаимозаменяемости, учитывающий возможность сочетания крайних отклонений составляющих звеньев, часто приводит к неэкономичным допускам. Считается, что экономически оправданной областью использования метода полной взаимозаменяемости являются малозвенные размерные цепи и размерные цепи с относительно широким полем допуска замыкающего звена.

Очень малая вероятность сочетания в размерной цепи крайних отклонений составляющих звеньев приводит порой к отрицанию права метода полной взаимозаменяемости на существование. Такие категоричные утверждения не только не верны, но и опасны, так как существуют области, для которых единственно приемлемым является метод полной (абсолютной) взаимозаменяемости. К числу таковых, например, относят стрелковое оружие, в котором отклонения диаметральных размеров канала ствола и пули во избежание отказов допустимы в пределах, установленных только по методу полной взаимозаменяемости.

9.2.2. Метод неполной взаимозаменяемости

Сущность метода заключается в том, что требуемая точность замыкающего звена размерной цепи достигается с некоторым, заранее обусловленным риском путем включения в нее составляющих звеньев без выбора, подбора или изменения их значений.

Преднамеренный риск выхода значений замыкающего звена за пределы допуска, определяемого условиями задачи, обычно незначителен. Однако этот риск позволяет расширить допуски составляющих звеньев в сравнении с их значениями, установленными при достижении точности замыкающего звена методом полной взаимозаменяемости. Эта возможность создается малой вероятностью возникновения крайних отклонений составляющих звеньев и попаданий таких отклонений в одно изделие.

На рис. 9.3 дано разъяснение принципиального различия между методами полной и неполной взаимозаменяемости и схематично отображено преимущество второго метода перед первым.

Рис.9.3. Сравнительная схема достижения точности замыкающего звена методами полной и неполной взаимозаменяемости

При заданном допуске замыкающего звена трехзвенной размерной цепи при использовании метода полной взаимозаменяемости допуски составляющих звеньев определяются по формуле:

.

Установив более широкие допуски на составляющие звенья и и ориентируясь на метод полной взаимозаменяемости, мы вправе ожидать отклонений замыкающего звена

.

При расчете полей допусков для метода неполной взаимозаменяемости используют формулу, в которой учтены вероятностные явления, сопровождающие процесс изготовления машины (см.п.9.1.2.):

,

где - коэффициент риска, значения которого выбирают из таблиц значения функций Лапласа в зависимости от принятого риска - Р в %;

- коэффициент, характеризующий закон рассеяния отклонения составляющих звеньев.

Для нормального закона =1/3.

При нормальном законе распределения отклонений и равновероятном их выходе за обе границы поля допуска

.

Некоторые значения коэффициента приведены ниже:

Правильность выбора значения может быть обоснована только технико-экономическим расчетом.

Значение коэффициента можно назначать, а можно выбирать. Практика показывает, что наиболее распространенными законами, которым подчинено рассеяние отклонений, являются нормальный закон (закон Гаусса), где = 1/9, закон Симпсона (закон треугольника), где = 1/6, закон равной вероятности, где = 1/3.

Наиболее благоприятные условия для рассеяния отклонений по нормальному закону складываются в массовом и крупносерийном производстве, менее благоприятно — в мелкосерийном и единичном. В тех случаях, когда трудно предвидеть законы распределения отклонений составляющих звеньев размерной цепи, избирают закон Симпсона или закон равной вероятности.

Координаты середин полей допусков рассчитывают по формулам (см. п.9.1) так же, как и при методе полной взаимозаменяемости. Уместно отметить, что эти формулы являются общими для всех пяти методов достижения требуемой точности замыкающего звена.

Правильность установленных допусков может быть проверена сопоставлением предельных отклонений замыкающего звена с заданными его значениями:

;

.

ЛЕКЦИЯ 10

10. Методы достижения точности замыкающего звена. Методы групповой взаимозаменяемости, регулировки и пригонки

10.1. Метод групповой взаимозаменяемости

Сущность метода заключается в том, что требуемая точность замыкающего звена размерной цепи достигается путем включения в размерную цепь составляющих звеньев, принадлежащих к одной из групп, на которые они предварительно рассортированы.

При применении метода групповой взаимозаменяемости поле допуска замыкающего звена, заданное условиями задачи, увеличивается в целое число раз. Расширенное поле допуска, часто называемое производственным допуском, , используют для ограничения отклонений составляющих звеньев размерной цепи. Детали, изготовленные по более широким допускам, в сравнении с методами полной или неполной взаимозаменяемости, сортируют на п групп. Изделия собирают из деталей, принадлежащих соответственным группам, что обеспечивает точность изделий в пределах заданного поля допуска и полную взаимозаменяемость деталей в границах каждой группы. При реализации метода необходимо соблюдать два условия:

1. сумма полей допусков увеличивающих составляющих звеньев должна быть равна сумме полей допусков уменьшающих звеньев:

;

2. идентичность формы и расположения кривых рассеяния отклонений относительно полей допусков.

Непременность соблюдения первого условия можно пояснить на примере трехзвенной размерной цепи (рис.10.1).

Рис.10.1. Трехзвенная размерная цепь (а)

На рис. 10.1, изображена размерная цепь , определяющая зазор между валом и отверстием во втулке, =1:

Поле допуска замыкающего звена увеличено в раз. В соответствии с ним установлены производственные поля допусков и составляющих звеньев. Согласно требованию = .

Каждое из полей допусков и разделено на интервалов (рис. 10.2, а) так, что

Таким образом, соединение деталей, взятых из соответствующих групп, обеспечит соблюдение поля допуска точно так же, как и при методе полной взаимозаменяемости.

а)

б)

10.2. Достижение точности методом групповой взаимозаменяемости при соблюдении первого условия (а) и его нарушении (б)

Координата середины поля допуска замыкающего звена для первых интервалов:

;

для вторых интервалов:

.

Поскольку , то .

Для последующих интервалов полей допусков, и координата середины поля допуска замыкающего звена будет оставаться неизменной:

.

Другими словами, при соединении деталей, взятых из соответствующих групп, отклонения замыкающего звена будут находиться в пределах допуска, определяемого заданными значениями и .

Этого не произойдет, если требование будет нарушено и (рис.10.2 б), но при этом соблюсти равенство .

В этом случае отклонения замыкающего звена , как и прежде, будут находиться в пределах , так как

.

Однако среднее значение замыкающего звена изделий не будет оставаться постоянным при сборке их из деталей, взятых из разных соответствующих групп. Причиной тому будет изменение координаты середины поля допуска замыкающего звена с изменением номера сочетаемых интервалов и .

Так, для второго интервала

,

так как .

Разница в значениях координат середин полей допусков по отношению к первому интервалу будет возрастать по мере увеличения номера интервала.