Уравнение прямолинейной регрессии

Корреляционную связь в форме, близкой к прямолинейной, можно представить в виде уравнения прямой линии:

(11.8)

где – среднее значение результативного признака; х – значение факторного признака; – параметр уравнения, обычно характеризующий минимальное значение результативного признака; – коэффициент пропорциональности изменения признака-результата.

В уравнении 9.8 параметр характеризует среднее значение результативного признака у при элиминировании признака-фактора х, т.е. х=0. Коэффициент в зависимости от знака (+) или (–) показывает пропорциональность изменения результата у, т.е. его приращения или убывания при абсолютном изменении фактора на каждую его единицу.

Для нахождения параметров , уравнения 9.8 составляют и решают следующую систему нормальных уравнений:

(11.9)

(11.10)

При расчете искомых параметров , можно воспользоваться макетом табл. 11.5.

Т а б л и ц а 11.5. Вспомогательные расчеты для определения параметров уравнения прямолинейной связи

№ п.п.	х	у	х2	ху
	х1	у1
	х2	у2
…	…	…	…	…
n	хn	уn
Σ	Σх	Σу	Σх2	Σху

Таким образом, для решения системы нормальных уравнений (11.9 и 11.10) необходимо найти значения Σх, Σу, Σху и Σх².

Допустим, необходимо определить, как изменяется в среднем урожайность рапса в зависимости от колебания доз минеральных удобрений по данным статистической совокупности из 30 сельскохозяйственных организаций, если известно, что дозы удобрений колеблются в пределах от 56 до 183 кг действующего вещества на 1 га, а урожайность рапса – от 16,9 до 30,4 ц/га.

Для составления уравнения прямолинейной регрессии (11.8) по имеющимся данным необходимо решить систему нормальных уравнений. С этой целью прежде всего составим рабочую табл. 11.6.

Т а б л и ц а 11.6. Вспомогательные расчеты для определения параметров уравнения прямолинейной взаимосвязи

Подставим полученные в табл. 11.6 конкретные значения Σх=3283, Σу=640, Σху=91204 и Σх²=535692 в уравнения 11.9 и 11.10; получим:

Для расчета коэффициента пропорциональности разделим уравнения 1,2 на числа, находящиеся при . Получим:

Вычтем четвертое уравнение из третьего. Получим 21,3 – 27,7 = а+а+109,4в – 163,2 в; - 6,4 = - 53,8 в; в = 0,12.

Теперь найдем параметр а, подставив значение в, например, в третье уравнение: 21,3 = а + 109,4. · 0,12; а=8,2.

Уравнение прямолинейной регрессии, выражающее зависимость между дозами минеральных удобрений и урожайностью рапса, имеет следующий вид:

(11.11)

Коэффициент пропорциональности в показывает, что повышение доз внесения в почву минеральных удобрений на 1 кг действующего вещества может вызвать прирост урожайности рапса в сельскохозяйственных организациях 12 кг. Это свидетельствует о существенной роли минеральных туков в достижении высоких и устойчивых урожаев сельскохозяйственных культур.