Связь АЧХ и ФЧХ замкнутой и разомкнутой систем

Для анализа РАС необходимо представить входное воздействие λ(t), возмущение ξ(t), ошибку x(t) в операторной форме, а затем получить ПФ разомкнутой и замкнутой систем по воздействию L(p), возмущению X(p), и ошибке К_х(p).

Многие РАС могут быть сведены к обобщенной структурной схеме, показанной на рис. 2.12.

. (2.27)

ПФ замкнутой системы по входному воздействию с учетом (2.27) :

. (2.28)

ПФ разомкнутой системы через ПФ замкнутой системы определяется так:

. (2.29)

ПФ замкнутой системы по возмущению с учетом (2.28) :

. (2.30)

ПФ замкнутой системы по ошибке :

. (2.31)

Пример 2.2.Определим ПФ выходного процесса и ПФ ошибки по входному воздействию λ(t) и возмущениям ξ₁(t), ξ₂(t) для схемы, показанной на рис. 2.11, которая была получена в примере 2.1 упрощением исходной схемы.

С помощью формул (2.28) и (2.30) получаем:

, , ;

, , .

Для представления процессов через ПФ звеньев исходной схемы (рис. 2.10) необходимо в полученных выражениях заменить K₂₆ по формуле (2.26).

Определим связь ПФ разомкнутой W(p) и замкнутой H(p) систем по воздействию (5.1), сделаем замену переменных p®iw, и выделим модуль и аргумент:

. (2.32)

После преобразований получим:

. (2.33)

Выделим вещественную и мнимую части:

Re: , Im: . (2.34)

Найдем связь АЧХ и ФЧХ разомкнутой и замкнутой систем.

, (2.35)

. (2.36)

Выражения (2.35) – (2.36) можно записать через переменную , связанную с запасом РАС по фазе:

, (2.37)

. (2.38)

Из выражений (2.35) – (2.38) следует, что в диапазоне частот, где W(ω)>1, АЧХ замкнутой системы H(ω) примерно равна единице, а ФЧХ почти не отличается от нуля. В диапазоне частот, в котором W(ω)<1, характеристики замкнутой системы (АЧХ и ФЧХ) стремятся к характеристикам разомкнутой системы.

Найдем связь годографов разомкнутой и замкнутой систем. Пусть , а , тогда из (2.32) получим:

, . (2.39)

Связь с ПХ замкнутой РАС определяется формулами [10]:

. (2.40)

При сложном входном воздействии формулы (2.40) можно использовать при вычислениях с помощью интеграла Дюамеля (свертки).

Установившееся значение выходного сигнала системы вычисляется по теореме о конечном значении:

, (2.41)

где H(р) – передаточная функция замкнутой системы.

, (2.42)

В астатических РАС установившееся значение выходного сигнала равно у_уст = H(0) = 1, в статических – у_уст = H(0) = k₀/(1+k₀).