Затухающие колебания.
Во всяком реальном контуре обязательно присутствует активное сопротивление R. Соответственно выражение для закона Ома будет иметь вид (21.03):
или . (21.14)
Разделим (21.14) на и воспользуемся обозначением:
. (21.15)
Получаем дифференциальное уравнение, описывающее колебания в контуре с ненулевым активным сопротивлением:
(21.16)
Параметр называется коэффициентом затухания. По смыслу эта величина обратна времени, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в «е» раз.
Решение (21.16) при не слишком большом затухании имеет вид (как известно!):
(21.17)
«…при не слишком большом затухании» означает:
. (21.18)
В этом случае циклическая частота колебаний остается вещественной:
. (21.19)
Из (21.19) следует, что частота затухающих (т.е. при ненулевом сопротивлении в контуре) колебаний меньше собственной.
Для характеристики степени затухания колебаний используют логарифмический декремент затухания, который определяется соотношением:
. (21.20)
Напомним, что есть количество колебаний, совершаемых системой за время, пока амплитуда колебаний уменьшается в «е» раз.
В нашем случае и , поэтому
. (21.21)
поскольку определяется параметрами контура , то логарифмический декремент затухания l является характеристикой контура. Важно отметить, что соотношение (21.21) справедливо всегда, в отличии от широко используемого приближенного соотношения, которое мы сейчас рассмотрим.
При небольшом затухании ,и вторым слагаемым в (21.19) можно пренебречь. Тогда
. (21.22)
. (21.23)
Чаще для характеристики степени затухания колебаний используется добротность контура:
. (21.24)
Добротность контура, как и любой колебательной системы, пропорциональна .
Энергия, запасённая в контуре, пропорциональна квадрату напряжения на конденсаторе, а значит, уменьшается по закону:
. (21.25)
Тогда отношение энергии DW, теряемой в контуре за период к запасённой . (21.26)
Если (!) затухание невелико: l << 1, то , а значит
. (21.27)Отсюда находим, что
. (21.27)
Другими словами добротность пропорциональна отношению энергии запасённой в контуре к энергии, теряемой за период.
Дата добавления: 2016-02-11; просмотров: 605;