Координата в линии передачи. В качестве модели эквивалентной ЛП рассмотрим двухпроводную длинную линию (рис

В качестве модели эквивалентной ЛП рассмотрим двухпроводную длинную линию (рис. 12.1.1), к которой подключен генератор монохроматического излучения круговой частоты , с нагрузкой . Координату отсчитываем от нагрузки в сторону генератора. Пусть – комплексные амплитуды напряжения и тока в линии, , Ом/м – погонное сопротивление, , 1/Ом м – погонная проводимость, , Ф/м – погонная емкость, , Гн/м – погонная индуктивность линии. Далее рассматриваем регулярную эквивалентную линию, в которой погонные параметры не зависят от . Электрическая эквивалентная схема дифференциально малого участка линии показана на рис. 14.2.1 (для удобства схема симметризована), стрелками показаны выбранные направления напряжения и тока.

Телеграфные уравнения

Сопротивление, проводимость, емкость и индуктивность участка линии определяются равенствами

,

(14.2.1)

отсюда приращения напряжения и тока на этом участке:

,

(14.2.2)

где – комплексное погонное сопротивление линии;

– комплексная погонная проводимость линии.

Поделив равенства (14.2.2) на , получим телеграфные уравнения:

,

(14.2.3)

определяющие связь между напряжением и током в любом сечении эквивалентной ЛП.

Уравнения Гельмгольца (волнового уравнения), коэффициент распространения

Исключим из первого уравнения ток, а из второго – напряжение. Для этого продифференцируем их по и учтем, что в силу регулярности линии

,

(14.2.4)

тогда

,

(14.2.5)

и подставляя в эти равенства соотношения (14.2.3), получаем волновые уравнения (уравнения Гельмгольца):

,

(14.2.6)

где

,

(14.2.7)

важный частотно-зависимый параметр эквивалентной линии – коэффициент распространения волны в линии.

Решение любого из уравнений (14.2.6) вместе с граничными условиями на концах линии полностью описывает распространение волн напряжения и тока в линии, причем достаточно решить одно из уравнений, например, для напряжения, а вторую функцию координаты можно получить из (14.2.3).

Падающие и отраженные волны, полное напряжение

Хотя достаточно решить одно из уравнений (14.2.6), для удобства дальнейшей интерпретации выпишем решения обоих уравнений. Общее решение однородных линейных уравнений второго порядка типа (14.2.6) хорошо известно и имеет вид:

,

(14.3.1)

где – не зависящие друг от друга произвольные постоянные размерности напряжения;

– не зависящие друг от друга произвольные постоянные размерности тока.

Решения волновых уравнений в виде (14.3.1) имеют весьма характерный вид: первое слагаемое в каждом решении есть падающая волна напряжения (тока), распространяющаяся от генератора к нагрузке, второе слагаемое – отраженная волна, распространяющаяся от нагрузки к генератору. Положив , выясняем смысл коэффициентов: – комплексные амплитуды падающих волн напряжения и тока соответственно на (в сечении) нагрузке, – комплексные амплитуды отраженных волн напряжения и тока соответственно на (в сечении) нагрузке. Полное напряжение (ток) на нагрузке, как следует из (14.3.1), равно сумме падающего и отраженного напряжений (токов):

,

(14.3.2)

а равенства (14.3.1) показывают, что то же самое справедливо для любого сечения линии: полное напряжение (ток ) в любом сечении равно сумме напряжений (токов) падающей и отраженной волн напряжения (тока). Мы пришли к важному выводу: характерной особенностью эквивалентных ЛП как «длинных линий» является возможность существования в них двух волн, распространяющихся навстречу друг другу: падающей, образованной подключенным к линии генератором, и отраженной, обязанной отражению падающей волны от нагрузки; все разнообразие процессов, происходящих в ЛП, определяется амплитудно-фазовыми соотношениями между падающей и отраженной волнами.

Поскольку нагрузка суть пассивный элемент, амплитуды отраженных волн напряжения и тока не могут превышать амплитуд падающих волн:

.

(14.3.3)

Чтобы не возникало путаницы, заметим, что направление распространения волн определяется знаком в показателях экспонент в (14.3.1): при выборе направления оси как на рис. 12.1.1 знак «плюс» – волна распространяется в отрицательном направлении оси (падающая); «минус» – в положительном направлении оси (отраженная). В частности, падающие волны напряжения и тока:

,

(14.3.4)

а отраженные волны:

.

(14.3.5)

Вторичные параметры ЭЛП (коэффициент затухания, коэффициент фазы, погонное затухание, линия без потерь, длина волны в линии, полная фаза, фазовая скорость, частотная дисперсия, волновое сопротивление)

Локальные параметры эквивалентной ЛП можно считать первичными параметрами линии. Рассмотрим теперь вторичные параметры эквивалентной ЛП, описывающие свойства распространяющихся в линии волн в целом и выражающиеся через первичные параметры. Начнем с введенного в (14.2.7) коэффициента распространения . Поскольку в общем случае суть комплексная величина, ее можно записать в виде:

.

(14.4.1)

Действительная часть коэффициента распространения , 1/м, называется коэффициентом затухания (ослабления) волны в линии, мнимая часть , 1/м, – коэффициентом фазы волны. Смысл этих частотно-зависимых параметров будет понятен, если записать, например, комплексную амплитуду падающей волны напряжения по (14.3.4) в виде:

,

(14.4.2)

т. е. это логарифмический декремент затухания волны за счет потерь в металле и диэлектрике и, возможно, за счет потерь на излучение в сторону; это сдвиг фазы на единицу длины линии. Если – два сечения линии, отстоящие друг от друга на 1 м, то

.

Обычно вводят погонное затухание (ослабление):

, дБ/м,

связанное с соотношением

,

Записав и перейдя от комплексной амплитуды к мгновенному значению, имеем:

,

(14.4.3)

откуда смысл виден еще более ясно.

Из (14.4.1) легко получить выражения и через первичные параметры линии [14.5]:

;	(14.4.4)
.	(14.4.5)

В важном идеализированном частном случае отсутствия потерь ( ) из этих равенств следует:

.

(14.4.6)

Выражение (14.4.3) дает распределение мгновенного напряжения во времени и вдоль линии. Зафиксируем время, например, , и найдем распределение вдоль линии в случае отсутствия потерь ( ):

.

(14.4.7)

Пространственный период этой косинусоиды

(14.4.8)

называется длиной волны в линии.

Аргумент косинусоиды в (14.4.3) называется полной фазой волны в линии:

.

(14.4.9)

Отсюда уравнение точек равных полных фаз :

.

(14.4.10)

Выражая отсюда и дифференцируя по времени, получаем фазовую скорость волны частотой :

.

(14.4.11)

В общем случае зависит от нелинейно (см. (14.4.5)) и зависит от , т. е. имеет место частотная дисперсия. Однако, в идеализированном случае отсутствия потерь, как следует из (14.4.6), (14.4.11),

. (14.4.12)

Из электродинамики известно [14.1, 14.5], что равно скорости света в той диэлектрической среде без потерь с относительными проницаемостями , которая заполняет линию передачи. В свою очередь, эта скорость равна . Таким образом, в линии без потерь скорость распространения волны такая же, как скорость распространения в неограниченном диэлектрике с теми же :

,	(14.4.13)
а ограничивающие идеальные токонесущие поверхности не влияют на скорость распространения в линии [14.5]. В частности, в воздушной линии ( ), как и следовало ожидать, .

Из (14.3.4) следует, что комплексные амплитуды напряжения и тока в падающей волне отличаются лишь коэффициентами . Найдем связь между ними, подставив оба равенства (14.3.4) в одно из телеграфных уравнений (14.2.3), например, в первое, и учитывая (14.2.7), тогда получим

, Ом.

(14.4.14)

Поскольку есть отношение комплексных амплитуд напряжения и тока в падающей волне, оно называется волновым сопротивлением эквивалентной ЛП. Это один из важнейших вторичных параметров ЛП. Как видно из (14.4.14), в общем случае волновое сопротивление – комплекснозначная функция . Однако, в идеализированном случае отсутствия потерь ( ) действительно, не зависит от и равно

.

(14.4.15)

Аналогичным образом находим:

.

(14.4.16)

Различие в знаках между (14.4.14) и (14.4.16) связано с тем, ток отраженной волны направлен противоположно току падающей волны.

Из (14.4.14) легко выразить модуль и аргумент волнового сопротивления:

,	(14.4.17)
	(14.4.18)

Как и следовало ожидать, в идеализированном случае отсутствия потерь ( ) (14.4.17) переходит в (14.4.15), а , т. е. напряжение и ток синфазны.

Частные решения волнового уравнения

Решение граничной задачи

Вернемся к общим решениям (14.3.1). Для нахождения частных решений необходимо задавать граничные условия и определять коэффициенты . Как отмечено выше, решения для напряжения и тока в (14.3.1) не являются независимыми; действительно, подставив в (14.4.14) и (14.4.16) , получаем

,

(14.5.1)

и решения (14.3.1) можно переписать в виде

.

(14.5.2)

Таким образом, для получения частного решения необходимо определить только два коэффициента . Удобно и физично в качестве граничных условий взять напряжение и ток на нагрузке ( ):

.

(14.5.3)

Тогда из (14.5.2) при найдем:

.

(14.5.4)

Подставив (14.5.4) в (14.5.2) и учитывая равенства

,

(14.5.5)

получим:

.

(14.5.6)

Если в (14.3.4) и (14.3.5) положить , то окажется, что комплексные коэффициенты суть комплексные амплитуды падающих и отраженных волн напряжения и тока на нагрузке:

.

(14.5.7)

Если эти комплексные амплитуды считать заданными, то равенства (14.3.1) также можно считать частными решениями волновых уравнений (14.2.6). Разница между частными решениями (14.3.1) и частными решениями (14.5.6) состоит в том, что первые выражены через комплексные амплитуды падающих и отраженных волн на нагрузке, а вторые – через комплексные амплитуды полных напряжения и тока на нагрузке.

В идеализированном случае отсутствия потерь ( ) и с учетом равенств

(14.5.8)

решения (14.5.6) можно записать в виде

.

(14.5.9)

Это же выражение можно получить и из (14.3.1), используя (14.3.2) и (14.5.1). С другой стороны, учтя (14.5.7), можно в случае отсутствия потерь записать (14.3.1) в виде:

.

(14.5.10)

Коэффициент отражения и входное сопротивление

Обозначим отношение комплексных амплитуд напряжений падающей и отраженной волн на нагрузке:

.

(14.6.1)

Комплексная величина называется коэффициентом отражения по напряжению, является важным параметром системы «ЛП+нагрузка» и, как показано ниже, зависит от соотношения нагрузки и волнового сопротивления ЛП .Аналогичное отношение токов, которое можно назвать коэффициентом отражения по току, в силу (14.5.1), равно:

,

(14.6.2)

и на практике не применяется, поэтому слова «по напряжению» в названии можно отбросить.

Теперь решения (14.5.10) можно переписать в виде:

.

(14.6.3)

Другим важным параметром системы «ЛП+нагрузка» является входное сопротивление нагруженной линии

,

(14.6.4)

связанное с трансформирующими свойствами отрезка линии.

ЛП с малыми потерями

Как показано выше, такие вторичные параметры ЛП, как коэффициент ослабления , коэффициент фазы , фазовая скорость , длина волны в линии , волновое сопротивление , и такие функции, как , и др., выражаются через первичные параметры , , , . В общем случае произвольных первичных параметров эти выражения сложны и громоздки (см. (14.4.4), (14.4.5)), что мешает практическому использованию теории эквивалентных ЛП. С другой стороны, в предположении отсутствия потерь (и в металле, и в диэлектрике) эти соотношения резко упрощаются, но само это предположение является теоретической идеализацией, и использование получаемых простых соотношений создает ошибки, исследование величин которых представляет собой непростую задачу.

Оказывается, однако, что современные ЛП часто, если не сказать всегда, принадлежат к классу линий с малыми потерями, для которых приближенные соотношения вторичных и первичных параметров компромиссны по сложности, а оценки ошибок очевидны. Примем в качестве критерия малости потерь линии условия [14.6]:

.

(14.7.1)

Представив постоянную распространения в виде:

,

(14.7.2)

разложим ее по степеням отношений , удерживая члены второго порядка этих отношений, тогда получим:

;	(14.7.3)
,	(14.7.4)

где – волновое сопротивление линии без потерь (см. (14.4.15)),

– коэффициент фазы линии без потерь (см. (14.4.6)).

Относительная ошибка при использовании этих формул определяется модулем первого отброшенного члена в разложении.

В современных ЛП потери в диэлектрике пренебрежимо малы по сравнению с потерями в металле, это означает, что члены с в обеих формулах пренебрежимы, и формулы упрощаются:

;	(14.7.5)
.	(14.7.6)

Для конкретной ЛП, т. е. при заданных первичных параметрах, условия (14.7.1) выполняются тем лучше, чем больше частота; начиная с некоторой частоты и для более высоких частот становится приемлемым нулевое приближение в используемом разложении ( ), т. е. предположение об отсутствии потерь.

Связь коэффициента отражения с нагрузкой

Пусть эквивалентная ЛП нагружена на, в общем случае – комплексное, сопротивление (рис. 12.1.1). Комбинируя (14.3.2), (14.4.14), (14.4.16), (14.5.1) и очевидное равенство

,

(14.8.1)

получим [14.5]:

.

(14.8.2)

Поделив числитель и знаменатель на и учтя определение (14.6.1) коэффициента отражения , найдем:

,

(14.8.3)

откуда

,

(14.8.4)

т. е. коэффициент отражения полностью определяется (комплексным) отношением сопротивления нагрузки и волнового сопротивления.

В большинстве случаев при конструировании радиотехнических устройств СВЧ –диапазона требуется добиваться, насколько возможно, согласования ЛП и нагрузки. Так, «…со знанием параметров рассеяния транзистора конструирование усилительных, осцилляторных и смесительных цепей сводится к задаче импедансного согласования» [14.3]. В измерительных приборах СВЧ-диапазона проблема согласования стоит особенно остро, т. к. именно рассогласованиям обязан ряд ошибок измерения. Из формулы (14.8.4) видно, что единственный способ избежать отражения от нагрузки, т. е. добиться равенства , – это выбрать сопротивление нагрузки равным волновому сопротивлению линии: . Если волновое сопротивление ЛП чисто активно: , то согласующее сопротивление должно быть также активным и равным волновому: .

Подставляя в (14.8.4) выражения ; , получим:

.

(14.8.5)

На практике ЛП рассчитываются и изготавливаются так, чтобы волновое сопротивление было чисто активным, т. е. =0. Учитывая это, перепишем предыдущее выражение:

.

(14.8.6)

Отсюда найдем модуль коэффициента отражения:

.

(14.8.7)

Поскольку и (вследствие пассивности нагрузки и ЛП), знаменатель подкоренного выражения не больше числителя, т. е.

.

(14.8.8)

Это условие эквивалентно (14.3.3) и означает, что амплитуда отраженной волны не превосходит амплитуду падающей волны.

Распределение амплитуд напряжения и тока вдоль нагруженной линии

Интерференция волн

Из вышеизложенного следует, что в ЛП, нагруженной на сопротивление и возбуждаемой монохроматическим сигналом частоты , существует две волны – падающая и отраженная, распространяющиеся в противоположные стороны. В каждой точке (сечении) линии каждая из этих волн имеет свою амплитуду и свою фазу, и происходит интерференция этих волн. Рассмотрим результаты интерференции в идеализированном случае отсутствия потерь.

Относительные распределения амплитуд, их свойства

Формулы (14.6.3) дают распределения комплексных амплитуд полных напряжения и тока вдоль линии, коэффициент отражения имеет вид (см. (14.8.5)) , при действительном волновом сопротивлении ( ) , где – аргумент комплексного сопротивления нагрузки: . Находя из (14.6.3) модули (амплитуды) полных напряжения и тока и деля их на те же модули в точке соответственно, находим относительные распределения амплитуд напряжения и тока вдоль линии:

;	(14.9.1)
.	(14.9.2)

Непосредственно из (14.9.1), (14.9.2) следует:

1) Амплитуды напряжения и тока в линии – периодические функции продольной координаты . Период удовлетворяет условию , а поскольку в случае отсутствия потерь (см. (14.4.8)) , то .

2) Относительные амплитуды напряжений и токов колеблются между (максимум) и (минимум). Максимум относительной амплитуды напряжения достигается при ; минимум – при ; максимум тока находится в точке минимума напряжения, и наоборот.