Основные положения. Уравнение Шредингера.

ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

Создание квантовой теории связано с именами Бора, Шредингера, Гейзенберга, Паули, Борна и др. Теория атома, созданная Бором, называется старой квантовой теорией. Создание современной теории начинается с работы Гейзенберга. В ней Гейзенберг изложил матричный подход. Однако наибольшее распространение получил подход Шредингера (1926 г). Он основан на уравнение дифференциального уравнения в частных производных второго порядка. Современная квантовая теория основана на использование уравнения Шредингера. Это уравнение постулировалось в работах Шредингера. Он стремился избежать двойственности, которая возникает при изучении микромира. Но его работа положила началом новых исследований и осмысления полученных результатов. Окончательная интерпретация результатов применения уравнения Шредингера относится к 1933 г.

Нестационарное уравнение Шредингера имеет вид

(1)

- оператор Гамильтона или гамильтониан; - волновая функция. Оператор Гамильтона для одной частицы в потенциальном поле имеет вид:

(2)

- оператор Лапласа. Если параметры системы не зависят от времени, получим стационарное уравнение Шредингера

(3)

- энергия частицы в стационарном состоянии. Решение уравнение Шредингера (3) с гамильтонианом (2) имеет много значений. Соответствующим подбором граничных условий из них выбирается только некоторые из них. Они имеет физический смысл. Оказывается, что уравнения вида (3) – это уравнения на собственные значения и функции. В целом набор собственных значений, , образует энергетический спектр. Он может быть дискретным, сплошным (непрерывным) или смешанным, т.е. содержать как дискретную, так и непрерывную части. Шредингер решил это уравнение для атома водорода и получил, в частности, результаты Бора без привлечения постулатов.

Свойства волновой функции.

Очень много потребовалось, чтобы понять смысл волновой функции, которая является решением уравнения Шредингера. Если посмотреть на Ур. (3), нетрудно заметить, что энергию можно найти следующим образом

(1)

Таким образом, замечаем, что в наблюдаемую величину, энергию, волновая функция входит квадратично. В общем случае оказалось, что наблюдаемое значение физической величины можно вычислить, используя решение Ур. (3), по формуле

(2)

- оператор рассматриваемой физической величины. Отсюда можно заключить, что сама волновая функция не имеет физического смысла. Смысл имеет только квадратичная форма. Введем величину , которую можно рассматривать как плотность вероятности. Если нормировать функцию на единицу, тогда появляется вероятностная трактовка волновой функции

(3)

Это вероятность обнаружить частицу в объеме , окружающим точку . Таким образом, мы переходим от детерминированного описания, которое свойственно классической физике, к вероятностному. Это особенность описания микромира. В этом случае формуле (2) можно интерпретировать как определение среднего значения некоторой величины, значения которой распределены с плотностью вероятности .