Уравнение неразрывности (сплошности) потока

Установим общую зависимость между скоростями в потоке жидкости, для которого соблюдается условие сплошности, или неразрыв­ности, движения, т.е. не образуется пустот, не заполненных жид­костью.

Выделим внутри потока элементарный параллелепипед объемом dV = dxdydz, ребра которого ориентированы параллельно осям координат (рис. II-12).

Пусть составляющая скорости потока вдоль оси х в точках, лежащих на левой грани параллелепипеда площадью dS = dydz, равна w_x. Тогда, согласно уравнению (II,25а), через эту грань в параллелепипед войдет вдоль оси х за единицу времени масса жидкости rw_xdydz, а за про­межуток времени dt — масса жидко­сти

М_x = rw_xdydzdt

где r — плотность жидкости на левой грани параллелепипеда.

На противоположной (правой) грани параллелепипеда скорость и плотность жидкости могут отли­чаться от соответствующих величин на левой грани и будут равны и . Тогда через правую грань параллеле­пипеда за то же время dt выйдет масса жидкости

M_x+dx =

Приращение массы жидкости в параллелепипеде вдоль оси х:

dM_x=M_x - M_x+dx =

Если составляющие скорости вдоль осей у и z равны w_y и w_z соответ­ственно, то приращения массы в элементарном объеме вдоль этих осей по аналогии составят:

dM_y =

dM_z =

Общее накопление массы жидкости в параллелепипеде за время dt равно сумме ее приращений вдоль всех осей координат:

dM =

Вместе с тем изменение массы в полностью заполненном жидкостью объеме параллелепипеда возможно только вследствие изменения плотности жидкости в этом объеме. Поэтому

dM =

Приравнивая оба выражения dM, сокращая на (-dxdydz) и перенося в левую часть уравнения окончательно получим

(II,41)

Уравнение (II,41) представляет собой дифференциальное уравнение неразрывности потока для неуста­новившегося движения сжимаемой жидкости.

Уравнение (II,41) может быть записано и в несколько иной форме. Проводя дифферен­цирование произведений rw, получим

+

или

(II,41a)

где — субстанциональная производная плотности.

В установившемся потоке плотность не изменяется во времени, т.е. = 0, и уравнение (II,41) принимает вид

(II,42)

Для капельных жидкостей, которые практически несжимаемы, а также для газов в условиях изотермического потока при скоростях, значительно меньших скорости звука, r = const и, следовательно

(II,43)

Уравнение (II,43) является дифференциальным урав­нением неразрывности потока несжимаемой жидкости.

Сумма изменений скорости вдоль осей координат в левой части урав­нения (II,43) называется дивергенцией вектора скорости и обозначается через div w. Поэтому данное уравнение можно представить как

div w= 0 (II,43a)

Для того чтобы перейти от элементарного объема ко всему объему жидкости, движущейся сплошным потоком (без разрывов и пустот) по трубопроводу переменного сечения (рис. II-13), проинтегрируем дифферен­циальное уравнение (II,42).

Если бы площадь сечения трубопровода не изменялась, то для уста­новившегося однонаправленного движения (в направлении оси х) интегри­рование уравнения (II,42) дало бы зависимость

rw = const

где w — средняя скорость жидкости.

Если же площадь сечения S трубопровода переменна, то, интегрируя также по площади, получим

rwS = const (II,44)

Для трех различных сечений (1—1, 2—2 и 3—3} трубопровода, изобра­женного на рис. II-13, имеем

r₁w₁S₁ = r₂w₂S₂ = r₃w₃S₃ (II,44а)

или

M₁ = М₂ = М₃

где М = rwS – массовый расход жидкости, кг/сек.

Выражение (II,44) или (II,44а) представляет собой уравнение неразрывности (плотности) потока в его инте­гральной форме для установившегося движения. Это уравнение называется также уравнением постоянства расхода. Согласно уравнению постоянства расхода, при установившемся движе­нии жидкости, полностью заполняющей трубопровод, через каждое его попе­речное сечение проходит в единицу времени одна и та же масса жидкости.

Для капельных жидкостей r₁ = r₂ = r₃ = const, и уравне­ние (II,44) принимает вид

wS = const (II,45)

Следовательно

w₁S₁ = w₂S₂ = w₃S₃ = const (II,45a)

или

Q₁ = Q₂ = Q₃

где Q = wS — объемный расход жидкости, м³/сек.

Из уравнения (II,45а) следует, что скорости капельной жидкости в различных поперечных сечениях трубопровода обратно пропорциональны площадям этих сечений.

Согласно уравнению (II,44), массовый расход жидкости через начальное сечение трубопровода равен ее расходу через конечное сечение трубопровода. Таким образом, уравнение постоянства расхода является частным случаем закона сохранения массы и выражает материальный баланс потока.

В некоторых случаях, например при вскипании жидкости вследствие резкого понижения давления, образуется пар, что может привести к разрыву потока. В таких условиях, наблюдаемых иногда при работе насосов, уравнение неразрывности потока не выполняется.