Гармонического осциллятора.

В качестве одномерного гармонического осциллятора рассмотрим колебания груза на пружине (пружинный маятник), который характеризуется потенциальной энергией

W_р = k x² / 2,

представляющий собой, параболическую потенциальную яму.

Для оценки минимально возможной полной энергии осциллятора применим соотношения неопределенностей Гейзенберга.

Полная механическая энергия данного осциллятора

W = W_к + W_р,

где W_к = p_х² / (2m) – кинетическая энергия осциллятора; W_р = k x² / 2.

Следовательно,

W = p_х² / (2m) + k x² / 2.

Согласно классической механике минимум полной энергии W = 0 соответствует х = 0 и р_х = 0, т. е. пружинный маятник неподвижен.

При рассмотрении квантового случая должны учесть, что одновременно точные значения координаты (х) и проекции импульса на ось х (р_х) указать невозможно.

Согласно, принципа неопределенностей Гейзенберга, имеем

Dх × Dр_х ³ h /(4p).

Если положим, что Dх » х ; Dр_х » р_х или по порядку величины х × р_х » h / (2p), т. е. р_х ~ h /(2px).

При переходе к равенству р_х = h /(2px) для полной энергии осциллятора будем иметь

W = h² /(8p²mx²) + k x² / 2.

Перейдем к условию минимума энергии:

dW /dx = – h² /(4p²mx³) + k x = 0.

Корень этого уравнения запишем в виде

.

Тогда минимальное значение полной энергии рассматриваемого квантового осциллятора

W₀ = hw /(2p).

или

W₀ = hn,

где

– собственная круговая частота осциллятора; w = 2pn.

Данная оценка отличается от точного значения только численным множителем 1/2.

Полная энергия квантового осциллятора называется энергией нулевых колебаний гармонического осциллятора.

Волновые свойства микрочастиц

И соотношение неопределенностей.