Теоремы сложения вероятностей
Суммой нескольких случайных событий называется событие, состоящее в совершении хотя бы одного из этих событий. Если, например, событие А – выпадение орла, а событие В – выпадение орешки, то событие (А+В) состоит в том, что фиксируется любой результат. Для обозначения суммы случайных событий чаще всего используют обозначение (А+В), а также (А или В) и (АÈВ).
Произведением нескольких случайных событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий. Помимо обозначения (А*В) или просто (АВ), используют обозначения (А и В) и (АÇВ).
Сумму и произведение случайных событий можно интерпретировать графически как показано на рис. 2.35.
Для несовместимых событий А и В в соответсвии с уравнением (2.12.1) можно написать: , где M1 – число случаев, благоприятствующих событию A, M2 – число случаев, благоприятствующих событию В, N – общее число случаев.
Тогда сумма случайных несовместимых событий может быть определена как:
Р(А)+Р(В) = = = Р(А+В)
или Р(А+В) = Р(А)+Р(В). (2.12.6)
Формула (2.12.6) легко обобщается для любого числа несовместимых событий:
Р(А+В+C+...) = Р(А)+Р(В)+P(C)+... (2.12.7)
Из правила сложения несовместимых событий (2.12.6) вытекает третья аксиома теории вероятностей «взаимного исключения» или несовместимости. Любые два события являются несовместимыми тогда и только тогда, когда представления их на карте оказываются неперекрывающимися выборочными пространствами. Это значит, что два события не должны иметь общих подмножеств. Если два события A1 и A2 несовместимы, то
P(A1+A2) = P(A1) + P(A2).
Это правило будет очень часто использоваться при расчете надёжности систем.
В разделе 2.11 введено понятие двоичного или биномиального события, называемого также булевским событием. Очевидно, что если рассматривается выборочное пространство события A, то
(2.12.8)
Это соответствует правилам табл. 2.13. События A и не могут перекрываться. Поэтому, применяя 2.12.7, запишем
а из 2.12.8 следует, что
что равно единице согласно 2.12.2. Следовательно
и . (2.12.9)
Таким образом, если вероятность некоторой булевской переменной известна, то вероятность ее дополнения легко определяется вычитанием из 1.
Сумма случайных совместимых событий А и В определяется формулой
Р(А+В) = Р(А) + Р(B) - Р(АВ). (2.12.10)
А В А В
АА
(А+В) (А*В)
Рис. 2.36. Графическая интерпретация суммы (А+В) и произведения (А*В)
случайных событий
Действительно, обозначим через М' число случаев, в которых события А и В появляются совместно, т. е. Когда имеем их произведение (А*В). Тогда , , Р(АВ)= М'/N . Событию (А+В) благоприятны M1 случаев, в которых появляется событие А и в которые уже вошли М' случаев, благоприятных совмещению событий (АВ), а также (М2 - М') случаев, в которых появляется событие В. Таким образом, событию (А+В) благоприятны М1+(М2 - М') случаев.
Следовательно, вероятность
Р(А+В) = (М1+М2 - М') /N = Р(А) + Р(В) - Р(А*В),
что и надо было доказать.
Выражение (2.12.10) легко доказывается с помощью карт. Рассмотрим простое логическое уравнение T=A+B. Карта для этого выражения представлена на рис 2.28. Если события А и В не совместимы, то в соответствии с выражением (2.12.6) Р(А+В) = Р(А)+Р(В). Но если события перекрываются, как на рис.2.28 , то такое сложение приведет к двойному учету вероятности Р(АВ). Общее выражение может быть получено для Р(А+В) из(2.12.6) поправкой на величину «лишней» вероятности Р(АВ). Для получения общего выражения эту вероятность надо вычесть из суммы вероятностей Р(А)+Р(В), т.е. мы получим уравнение Р(А+В) = Р(А)+Р(В) - Р(АВ). Таким образом, мы подтвердили справедливость уравнения (2.12.10) с помощью карт.
Формула (2.12.6) может быть обобщена на любое число несовместимых событий. Рассмотрим вероятность события Р(А1+ А2) Представим событие А2 в виде двух несовместимых событий В1 и В2. Тогда в соответствии с (2.12.6) получим
Р(А1+ А2) = Р(А1+ В1 + В2) = Р(А1)+ Р(В1 + В2).
Но так как В1 и В2 также несовместимы, то
Р(А1+ В1 В2) = Р(А1) + Р(В1) + Р(В2).
На основании последнего выражения можно обобщить формулу для любого числа n несовместимых событий
Р(А1+ А 2 +…+ А n) = (2.12.11)
Если А и В являются несовместимыми событиями, как, например, одновременное выпадение орла и орешки, то произведение их вероятностей Р(АВ)=0. В этом случае уравнение (2.12.10) преобразуется в уравнение (2.12.6).
Из теоремы сложения вытекают два следствия.
Следствие 1: Если несовместимые события образуют полную группу, то сумма вероятностей этих событий равна единице:
Р(А+В+C+...) = Р(А)+Р(В)+P(C)+... = 1. (2.12.12)
Следствие 2: Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:
Р(А)+Р( ) = 1. (2.12.13)
Используя правила, представленные в табл.2.14 функцию T=A+B можно представить несколькими эквивалентными выражениями:
T=A+B; (2.12.14)
; (2.12.15)
; (2.12.16)
. (2.12.17)
Выражения (2.12.15 – 2.12.17) не проще выражения 2.12.14, но они выражены в формах несовместимых событий. Появляется простая возможность вычислить вероятность функции суммированием вероятностей слагаемых. Таким образом, мы получаем возможность использовать три эквивалентные формы для вычисления вероятностей:
(2.12.18)
Возможность использования эквивалентных выражений предоставляет большие удобства при анализе деревьев отказов.
До сих пор мы не принимали во внимание зависимость одного события от другого. При рассмотрении вопросов безопасности и оценки риска приходится рассматривать причины возникновения опасных ситуаций и их последствия. В одних случаях причиной возникновения опасной ситуации могут послужить какие-то совершенно независимые события, в других же – одни события могут возникнуть в зависимости от наличия других событий.
Дата добавления: 2016-02-04; просмотров: 693;