Диагонализация квадратной матрицы

Рассмотрим случай неособенной модальной матрицы М, так что существует обратная матрица М^-1 (это соответствует случаю различных характеристических чисел λ_i или случаю симметрической матрицыА), при этом решение уравнения

можно записать в следующем виде:

или

Чтобы получить диагональную матрицу Λ, необходимо получить матрицу M^-1AM , т.е. осуществить преобразование:

Более высокие степени А приводятся к диагональному виду таким же способом. Например,

Преобразование вида B = Q^-1AQ, где А и B – квадратные матрицы, а Q – неособенная квадратная матрица, называется коллинеарным преобразованием, или преобразованием подобия.

Итак, предполагая, что характеристические числа А различные, применим преобразование подобия Λ=М^-1АМ, используя модальную матрицу М, к уравнениям состояния и наблюдения линейной стационарной системы в стандартной форме (см. п. 2.4, соответствующая структурная схема приведена на рис. 2.10):

Введя линейное преобразование z = Mq, где М – модальная матрица, подставим его в эти уравнения и получим:

.

Умножение первого уравнения слева на матрицу М^-1, обратную модальной, дает:

.

Поскольку М – модальная матрица, то преобразование подобия

М^-1АМ приводит к диагональной матрице Λ. Главными диагональными элементами Λ служат характеристические числа λ₁, λ₂ ,…,λ_n. Следовательно,

,

где Λ = М^-1АМ, B_n = M^-1B, C_n = CM и D_n = D.

Эта форма записи уравнений известна как нормальная формауравнений состояния. При этом дифференциальные уравнения развязаны относительно переменных состояния q₁, q₂,…, q_n, т.е. они имеют вид:

Пример. Записать уравнения состояния в нормальной форме для динамической системы, структурная схема которой приведена на рис. 2.12.

Рис. 2.12. Блок-схема стандартной формы уравнений динамической системы из примера

Соответствующая рисунку 2.12 стандартная форма уравнений состояния имеет вид:

Модальные матрицы М и М^-1, соответствующие матрице А, а также диагональная матрица Λ = М^-1АМ, и прочие B _n= M^-1B, C_n = CM и D_n = D равны:

Нормальная форма уравнений состояния имеет вид:

где q(t) =М^-1z(t) или q₁ = 2z₁+z₂ , q₂ = – z₁ – z₂. Блок-схема этих уравнений показана на рис. 2.13.

Рис. 2.13. Блок-схема нормальной формы уравнений динамической системы из примера

Вопросы к разделу 2.6

1. Что такое линейная оболочка?
2. Что называется базисом линейного векторного пространства?
3. Какой вектор называется характеристическим?
4. Каков алгоритм получения характеристического уравнения для матрицы А?
5. Что называется следом матрицы?
6. Что позволяет определить формула Бохера?
7. Почему формула Бохера называется рекуррентной?
8. Что представляют собой столбцы модальной матрицы?
9. Из какой матрицы и как выбираются столбцы модальной матрицы при различных характеристических числах?
10. Что образуют столбцы модальной матрицы в векторном пространстве?
11. В каком случае модальная матрица не является особенной?
12. При каком условии можно диагонализировать матрицу А?
13. Какое преобразование называется коллинеарным?
14. Что является отличительной чертой нормальной формы уравнений состояния системы?