Характеристические числа и характеристические векторы
От характеристических векторов зависят динамические свойства системы. Рассмотрим векторное уравнение
y = Ax,
где у – вектор входа (n×1); x – вектор выхода (n×1); А – квадратная матрица (n×n).
Вопрос о нахождении характеристических значений связан с вопросом: существует ли такой вектор x, который в результате его преобразования с помощью матрицы А переходит в вектор y, имеющий то же направление в пространстве что и вектор x. Если такой вектор x существует, то это значит, что yпропорционален x(рис. 2.11):
y = Ax = λx,
где λ – скаляр.
Рис. 2.11. Характеристический вектор y= λx
Перенесем λx = λExв левую часть:
(λE – A)x= 0,
где E – единичная матрица.
Это векторно-матричное уравнение можно записать в виде равносильной системы скалярных уравнений, соответствующих строкам матрицы А:
Данная система имеет нетривиальное решение в том случае, если определитель матрицы коэффициентов равен нулю:
Раскрытие данного определителя приводит к характеристическому уравнению:
.
Многочлен n-й степени относительно l называется характеристическим многочленомматрицы А.Корни этого уравнения равны характеристическим (собственным) значениям матрицы А. Особый интерес представляют коэффициенты многочлена а1 и аn.
Если положить λ = 0, то:
Представим
и снова положим, что λ = 0. Тогда
,
откуда
Таким образом, произведение характеристических чисел равно определителю матрицы А. В случае равенства нулю какого-нибудь из характеристических чисел матрица А становится особенной (вырожденной).
Раскрывая характеристическое уравнение, записанное в виде произведения сомножителей, можно выразить коэффициенты при различных степенях λ через характеристические числа.
Выразим коэффициент при λn-1:
С другой стороны, раскрывая также определитель |λE–A|, найдем, что коэффициент при λn-1 равен со знаком минус сумме диагональных элементов матрицы А:
Таким образом, сумма диагональных элементов квадратной матрицы равна сумме ее характеристических чисел:
Ввиду важности этого свойства сумме диагональных элементов матрицы присвоено особое название: след матрицы. Обозначим след матрицы:
Формула Бохера
Можно записать полезную рекуррентную формулу, выражающую коэффициенты характеристического уравнения через следы матриц различного порядка Tk = Tr(Ak):
Эта формула, известная как формула Бохера, эффективна при вычислении коэффициентов характеристического уравнения с помощью компьютерной программы.
Пример. Найти характеристические числа следующей заданной матрицы А:
.
По формуле Бохера: a1 = – T1= – (2+1–1)= – 2. Произведение матрицы А на себя:
откуда
Аналогично
откуда
Следовательно, характеристическое уравнение имеет вид:
λ+2λ–5λ=(λ–1)(λ+2)(λ–3)=0.
Найдем характеристические числа: λ1 = 1, λ2 = – 2, λ3 = 3.
Модальная матрица
Для каждого из n характеристических чисел λi (i=1,2,…,n) матрицы А (в предположении, что все они различны) можно получить решение уравнения [λE –A]x = 0. Это векторно-матричное уравнение можно представить в виде системы уравнений
Векторы xi, представляющие собой решения данной системы уравнений, являются характеристическими векторами матрицы A. Поскольку эта система уравнений однородная, то и kixi, где ki – произвольная скалярная величина, также служит решением. Поэтому эта система уравнений определяет однозначно только направление каждого из xi.
Матрица, образованная векторами-столбцами kixi, называется модальной матрицей. (Модальная – от слова “mode”, означающего «частота». Так называемые «частоты», описывающие динамику линейной системы, могут быть выражены в виде составляющих движения вдоль характеристических векторов).
При различных характеристических числах столбцы модальной матрицы могут выбираться равными или пропорциональными произвольному столбцу присоединенной матрицы Adj[λE – A].
Это вытекает из того факта, что [λE – A] имеет ранг n – 1. Поскольку определитель |λE – A|=0 (как мы уже выяснили), ранг матрицы Adj[λE– A] должен быть меньше n, однако при этом он не может быть меньше n – 1, так как тогда равнялись бы нулю все (n – 1) миноров строки определителя |λE– A|, что, в свою очередь, потребовало бы, чтобы
Отсюда следует, что λi является кратным корнем исходной системы уравнений, а это противоречит предположению о том, что характеристические числа различны. Таким образом, матрица [λE – A] имеет ранг (n – 1), поэтому из определения присоединенной матрицы следует, что столбцы модальной матрицы пропорциональны произвольному ненулевому столбцу Adj [λE – A]. Ввиду линейной зависимости столбцов Adj [λE – A] для данного λi выбор каждого λi определяет только один столбец модальной матрицы.
Пример. Найти характеристические числа и модальную матрицу, соответствующую матрице А:
.
Характеристическое уравнение находим из условия |λE –A|=0:
Характеристические числа: λ1 = 1, λ2 = –2, λ3 = 3.
Присоединенная матрицаравна:
Чтобы найти модальную матрицу, необходимо в присоединенную матрицу подставить значение собственных (характеристических) чисел.
При λ1 = 1присоединенная матрица равна
При λ2 = –2присоединенная матрица равна
При λ3 = 3присоединенная матрица равна
Поскольку характеристические векторы единственным образом определяют только направление, то умноженные на скалярную величину, они также будут удовлетворять уравнению
.
Следовательно, модальная матрица имеет вид:
Каждый столбец данной модальной матрицы служит характеристическим вектором в одномерном векторном пространстве. Три столбца модальной матрицы образуют базисв соответствующем трехмерном векторном пространстве.
Выше рассматривалась модальная матрица при различных характеристических числах А. В случае кратных характеристических чисел и несимметрической А определение независимых модальных столбцов не очевидно, так как не существует однозначного соответствия между порядком кратности корня характеристического уравнения и дефектом соответствующей характеристической матрицы [λE–A]. Однако и в этом случае вопрос построения модальной матрицы решается положительно, хотя и более сложно.
Дата добавления: 2016-02-02; просмотров: 2094;