Сечение поверхности плоскостью

Линия, которая, получается от пересечения поверхности с плоскостью, является плоской кривой, лежащей в секущей плоскости. Чтобы построить проекции этой линии на чертеже, находят проекции ее отдельных точек и, соединяя одноименные проекции точек плавными кривыми (по лекалу), получают проекции искомой линии.

Сначала находят опорные точки, а затем строятся остальные произвольные точки линии пересечения поверхности с плоскостью. Находят их с помощью одного и того же приема, который является основным для решения рассматриваемой задачи. Основной прием построения линии пересечения поверхности с плоскостью заключается в применении способа вспомогательных секущих плоскостей. Алгоритм решения следующий.

1. Проводится вспомогательная секущая плоскость, пересекающая заданные поверхность и плоскость. Положение секущей плоскости необходимо выбирать с таким расчетом, чтобы в сечении её с поверхностью получались линии наиболее простой формы – окружности или прямые. Кроме того, важно и то, чтобы проекции получающейся окружности имели наиболее простой вид: одна проекция была бы тоже окружностью, а другая – в виде отрезка прямой.

2. Строятся линия пересечения поверхности и прямая пересечения плоскости со вспомогательной плоскостью.

3. Построенные линии пересечения лежат на вспомогательной плоскости, а, значит, будут пересекаться. Точки пересечения принадлежат искомой линии пересечения данных поверхности и плоскости.

Для нахождения других точек линии пересечения нужно провести ещё несколько вспомогательных плоскостей и повторить описанные построения.

Для пояснения всего сказанного построим, например, линию пересечения поверхности прямого кругового конуса Φ с плоскостью общего положения Σ(h⁰Ç f⁰) (рис.13.8).

Рис.13.8

Опорных точек линии пересечения, которые можно найти сразу, в данном случае нет. Поэтому необходимо воспользоваться вспомогательными секущими плоскостями.

Сначала проведем фронтальную плоскость уровня Θ через главный меридиан конуса. Плоскость зададим горизонтальной проекцией Θ₁, проходящей через вершину конуса. Такая плоскость будет пересекать конус по треугольнику, проекция которого на П₂ является фронтальным очерком конуса. С плоскостью Σ вспомогательная плоскость пересекается по прямой, горизонтальная проекция которой проходит через точку 1₁ и совпадает с проекцией плоскости Θ₁, т.е. проходит параллельно f⁰₁ горизонтальной проекции фронтального следа плоскости Σ. Фронтальная проекция прямой пересечения будет также проходить через фронтальную проекцию точки 1₂ параллельно f⁰₂. Эта прямая пересекается с главным меридианом конуса в точках А и В, которые принадлежат искомой линии пересечения конуса и плоскости. Причем найденные точки являются точками-границами видимости линии пересечения для плоскости П₂. Горизонтальные проекции А₁ и В₁ лежат на горизонтальной проекции вспомогательной плоскости Θ₁.

Далее проведём горизонтально проецирующую плоскость Δ, перпендикулярную горизонтальному следу плоскости Σ и проходящую через ось конуса. Такая вспомогательная плоскость пересекает плоскость Σ по прямой 23, а конус – по треугольнику 4S5. Между собой эти линии пересекаются в точках C и D, принадлежащих искомой линии пересечения. Нужно отметить, что точка C является самой низкой точкой, а точка D – самой верхней точкой линии пересечения (т.к. вспомогательная плоскость проведена фактически через линию ската плоскости Σ).

Затем проводится вспомогательная горизонтальная плоскость уровня Н, которая задаётся фронтальной проекцией Н₂. Такая плоскость пересекает конус по параллели, а плоскость Σ – по прямой, проходящей через точку 6 параллельно горизонтальному следу плоскости Σ. Эти линии пересекаются в точках E и F, также принадлежащих искомой линии пересечения.

Найденные точки линии пересечения необходимо соединить плавной линией с учетом видимости.

Рассмотрим частный случай, когда с поверхностью пересекается проецирующая плоскость. При этом становится известной одна проекция линии пересечения. Она совпадает со следом проецирующей плоскости и располагается внутри очерка поверхности. Поэтому остаётся построить лишь вторую проекцию этой линии. А для этого необходимо воспользоваться вспомогательными линиями, лежащими на поверхности, что значительно проще, чем проводить вспомогательные плоскости.

Рассмотрим пример построения линии пересечения сферы со фронтально проецирующей плоскостью S (рис.13.9).

Фронтальная проекция линии пересечения совпадает с фронтальным следом плоскости и лежит внутри очерка сферы. Необходимо построить горизонтальную проекцию этой линии.

Сначала перенесём на П₁ точки А и В, лежащие на главном меридиане сферы, а затем точки C и D, расположенные на экваторе сферы. Эти точки являются точками границами-види­мости для плоскости проекций П₁ и разделяют горизонтальную проекцию искомой линии пересечения на видимую и невидимую части.

Для построения точек E, F, G и J проведены две параллели сферы и горизонтальные проекции этих точек располагаются на горизонтальных проекциях вспомогательных параллелей.

Все найденные точки соединены плавной линией с учетом видимости.

Конические сечения

Пересекая прямой круговой конус секущими плоскостями можно получить в сечении различные кривые второго порядка. На рис.13.10 показаны положения секущих плоскостей и указаны, какие кривые в этом случае будут лежать в сечении.

Рис.13.10

8. Построение линии пересечения двух плоскостей

Как известно, две плоскости пересекаются по прямой линии. Прямая определяется двумя точками. Поэтому для построения линии пересечения двух плоскостей достаточно построить две её точки. А для этого нужно провести две вспомогательные плоскости. Решение задачи выполняется в следующей последовательности.

1. Обе заданные плоскости пересекаются вспомогательной плоскостью.

2. Строятся прямые пересечения вспомогательной плоскости с каждой из заданных плоскостей.

3. Находится точка пересечения построенных прямых. Эта точка будет принадлежать искомой линии пересечения данных плоскостей.

Для нахождения второй точки линии пересечения необходимо провести вторую вспомогательную плоскость и повторить приведённый алгоритм решения.

На рис.13.11 приведён пример нахождения линии пересечения двух плоскостей общего положения Σ(aÇb) и Θ(m||n).

Рис.13.11

Для построения точки К проведена вспомогательная горизонтальная плоскость уровня Н¹, а для построения точки L - горизонтальная плоскость уровня Н².