Линейная интерполяция

Основные процедуры математического моделирования

Аппроксимация

Аппроксимация, или приближение — научный метод, состоящий в замене одних объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным, но более простыми.

В математическом моделировании аппроксимация используется в двух вариантах:

1) имеются экспериментальные данные, отражающие объективную реальность, в виде отдельных точек и требуется представить их виде гладкой функции, которая и будет математической моделью, отражающей эти объективные экспериментальные данные;

2) уже имеется некая исходная математическая модель, но необходимо создать такую математическую модель, которая с одной стороны будет проще исходной, а с другой стороны будет похожа (в определённых рамках) на нее.

В общем случае выбор аппроксимирующей функции во многом определяется физикой описываемого процесса.

Часто задача аппроксимации сводится либо к линеаризации, либо к линейной регрессии.

Математика многогранна и в ней можно найти как математическую модель, внутри которой имеется блок аппроксимации, так и аппроксимацию целой математической модели. Если первое понятно и пояснений не требует, то примером второго является, например, аппроксимация редкого катастрофического явления, где само явление описывается сложной математической моделью.

Линеаризация

Выгоды линейности бывают столь велики, что приближенная замена нелинейных соотношений на линейные, нелинейных моделей на линейные, т. е. линеаризациясоотношений, моделей и т. д. весьма распространена в моделировании.

Рассмотрим вначале два наиболее часто используемых случаев линеаризации: либо если эксперимент показывает (как, например, для закона Гука), что отклонение от линейности в рассматриваемом диапазоне ab изменения переменных невелико и несущественно (рис.1,а), либо же необходимо линеаризовать функцию в окрестности точки a (рис.1,б).

В первом случае используется линейная интерполяция, а во втором – линеаризация с применением ряда Тейлора.

Линейная интерполяция

Задача сводится к нахождению прямой, проведенной через две точки:

,(1)

откуда , где

В общем случае линейную интерполяцию можно применить и для большего количества точек – в этом случае вместо кривой линии получаем ломаную линию, состоящую из последовательно соединенных прямых линий (рис.2).