Подбор эмпирической формулы

Остановимся особо на вопросе о подборе эмпирической формулы для функциональной зависимости между величинами. Пусть мы знаем, что некоторая величина у является функцией другой величины л:, т. е. у = у(х), но аналитическое выражение этой функции нам неизвестно и мы хотим подобрать для нее формулу у = fix), с достаточной для нас точностью описывающую зависимость. Пусть, далее, в результате эксперимента или наблюдения, мы получили ряд значений х и соответствующих значений у:

Тогда, если N не слишком велико, обычно начинают с нанесения этих данных на координатную ось в виде отдельных точек. При этом становятся видны точки, выпадающие из общего хода зависимости. Они могут свидетельствовать о каких-то важных эффектах, требующих специального исследования, но чаще получаются из-за существенных ошибок при эксперименте или вычислениях — тогда эти точки просто игнорируются. Затем надо выбрать вид формулы, которой мы будем пользоваться. Если этот вид не вытекает из каких-либо общих соображений, то обычно выбирают одну из простейших элементарных функций или их простую комбинацию (сумму степенных или показательных функций и т. п.); конечно, для этого надо хорошо представлять себе возможные графики таких функций. При этом следят за тем, чтобы подбираемая функция fix) имела те же характерные особенности, что и изучаемая функция у(х). Так, если по своему содержательному смыслу функция у(х) четная, то и функция fix) должна быть четной и т. п.; очень важно правильно передать поведение функции при больших и малых значениях х, возможную смену ее знака и другие ее существенные черты. На малом интервале изменения х часто применяют наиболее простую — линейную функцию, а

вблизи точки экстремума — квадратичную функцию. Иногда не удается подобрать единую формулу на всем интервале изменения х и приходится разбивать этот интервал на части и на каждой подбирать свою формулу. После выбора вида формулы нужно определить значения входящих в нее параметров. Рассмотрим сначала случай, когда экспериментальные точки подсказывают линейную зависимость у от х, т. е. мы полагаем fix) = ах + b и нам надо найти значения параметров а и А. Если высокой точности не требуется (тем более, что формула все равно приближенная), то это можно сделать непосредственно с помощью графика, проведя прямую — лучше всего применив прозрачную линейку,— к которой экспериментальные точки лежат ближе вс^го, а затем определить ее параметры. Если требуется бблыыая точность или если мы хотим обойтись без геометрических построений, ограничившись линейными приближениями, то наиболее часто для подбора параметров а я b применяется метод наименьших квадратов. Он состоит в минимизации суммы квадратов разностей между эмпирическими значениями функции и соответствующими ее значениями, полученными из