Полиномиальные модели

Развитием простейшей модели (5.1) можно считать полином первого порядка

, (5.5)

где , – текущие значения коэффициентов модели;

– период упреждения;

– случайные независимые отклонения расчетных от фактических, имеющие нулевое математическое ожидание и конечную дисперсию .

Его структура в отличие от полинома нулевой степени способна адекватно отражать тенденцию линейного роста исследуемого процесса. Это позволяет избавиться от систематической ошибки, которая как отмечалось в предыдущей главе, имеет место при использовании экспоненциальной средней в качестве прогнозной модели подобных процессов.

Одновременно с изменением структуры модели, как правило, претерпевает соответствующие изменения и ее адаптивный механизм. Неизменным может оставаться только принцип его построения. Причем, для одной и той же модели на основе одного того же принципа можно строить различные варианты адаптивных механизмов. Примером модели, для которой можно построить различные варианты адаптивных механизмов как раз и является рассматриваемый адаптивный полином первой степени (5.5). Одним из вариантов ее адаптивного механизма был предложен Ч. Хольтом. Этим вариантом предусматривается расчет оценок текущих (т.е. на данный момент времени) коэффициентов модели по двум рекуррентным соотношениям

, (5.6)

(5.7)

где , – параметры экспоненциального сглаживания .

Если через обозначить ошибку прогноза, то эти соотношения можно переписать в следующем виде:

, (5.8)

, (5.9)

Полученное представление показывает, что используемая в рекуррентных соотношениях (5.6), (5.7) процедура экспоненциального сглаживания приводит как и в случае полинома нулевой степени к адаптивному механизму, построенному на принципе регулятора с обратной связью.

Р. Брауном для этой же модели предложен другой вариант адаптивного механизма

, (5.10)

(5.11)

в котором использован только один параметр адаптации , интерпретируемый как коэффициент дисконтирования, показывающий степень обесценивания наблюдений по истечению единичного периода времени. Вариант Брауна проще для программной реализации на ЭВМ, так как расчеты значительно сокращаются. Это сокращение получается в силу того, что механизм адаптации по этому варианту требует оптимальной настройки всего одного параметра и практически не уступает в точности предсказания многопараметрическим моделям.

Однако несмотря на ряд замечательных свойств, остающаяся довольно простой структура этой модели не гарантирует адекватного отражения всего многообразия закономерностей развития экономических процессов. Ее адаптивный механизм не обладает такой гибкостью, чтобы полностью компенсировать рассогласованность между моделью и реально протекающим процессом, порождаемую неадекватностью. Причем, в тех случаях, когда в структуре модели не находят своего отражения закономерности прогнозируемого процесса, имеющее место запаздывание в корректирующих воздействиях адаптивного механизма приводит к тому, что обновление коэффициентов модели обеспечивает только локальное улучшение ее аппроксимационных свойств, которые не гарантируют соответствующего повышения точности прогнозных расчетов. Все это, конечно, сужает область возможных применений простейших моделей в практике перспективного анализа.

В основе дальнейшего развития и обобщения моделей полиномиального типа лежит доказанная Р. Брауном и Р. Майером фундаментальная теорема экспоненциального сглаживания. С ее помощью удается расширить класс адаптивных моделей, в которых используется принцип экспоненциального сглаживания, до множества полиномов произвольной степени

(5.12)

Для определения неизвестных коэффициентов делается предположение о том, что полином, представляющий детерминированную часть выражения (5.12), можно представить в точке в виде ряда Тейлора

(5.13)

где – -я производная, вычисленная в точке .

Используя обобщенное понятие экспоненциальной средней -го порядка

(5.14)

величина которой определяется по известным начальным значениям и , Р. Браун и Р. Майер в своей фундаментальной теореме показали, каким образом коэффициенты связаны с обобщенными экспоненциальными средними соотношениями

(5.15)

представляющими линейную систему из уравнения.

Для полиномов невысокой степени, а в практике прогнозных расчетов, как правило, используются полиномы не выше второй степени, решение системы (5.15) можно выразить в явном виде через обобщенные экспоненциальные средние. Необходимые для расчета экспоненциальных средних начальные значения получаются из правой части (5.15) заменой оценками метода наименьших квадратов.

Адаптивная полиномиальная модель нулевого порядка, получаемая из (5.15), полностью совпадает с моделью первого порядка при заданных с помощью оценок метода наименьших квадратов начальных значениях

, (5.16)

(5.17)

и определяется системой рекуррентных соотношений. По этим рекуррентным соотношениям вычисляются экспоненциальные средние

, (5.18)

(5.19)

и соответствующие коэффициенты адаптивного полинома

, (5.20)

. (5.21)

Полученные коэффициенты подставляются в полином, и расчет прогнозных значений осуществляется с помощью следующего выражения:

(5.22)

Аналогично определяется адаптивная полиномиальная модель второго порядка ( ). С помощью оценок метода наименьших квадратов задаются начальные условия

, (5.23)

, (5.24)

(5.25)

и рекуррентно рассчитываются экспоненциальные средние

, (5.26)

, (5.27)

, (5.28)

по которым находятся коэффициенты полинома

, (5.29)

, (5.30)

. (5.31)

Прогноз рассчитывается по параболе следующего вида:

. (5.32)

В адаптивном механизме этих моделей, хотя и не в явной форме, также использован принцип регулятора с обратной связью. На этом принципе построен расчет обобщенных экспоненциальных средних, линейная комбинация которых, как видно из (5.22), (5.32), принимается за величину прогнозного значения.