Решая линейную систему (2.26) с помощью замены
,
получаем оценки коэффициентов линейной трендовой модели в виде
; . (2.27)
В случае, когда в качестве тренда выбрана нелинейная функция, возникают некоторые проблемы построения таких функций с помощью МНК. Рассмотрим все варианты, которые могут иметь место в таких случаях.
Нелинейные модели принято делить на три класса: нелинейные по независимой переменной; нелинейные по оцениваемым параметрам, но приводящиеся путем преобразования к линейному виду; нелинейные по оцениваемым параметрам; не приводящиеся к линейному виду.
Нелинейные по независимой переменной:
§ парабола ;
§ полином третьей степени ;
§ равносторонняя гипербола .
Нелинейные по оцениваемым параметрам:
· степенная ;
· показательная ;
· экспоненциальная .
Коэффициенты моделей первого класса после замены переменных рассчитываются с помощью метода наименьших квадратов. Построение моделей второго класса требует предварительного их приведения к линейному виду путем логарифмирования
;
;
.
После построения с помощью метода наименьших квадратов преобразованных моделей коэффициенты исходных моделей в случае необходимости получаются путем потенцирования.
Модели третьего класса (например, логистическая модель Перла – Рида и кривая Гомперца) не приводятся к линейному виду и, следовательно, не могут быть построены с помощью МНК.
2.4. Адекватность. Критерий Дарбина – Уотсона
Проверка адекватности трендовых моделей реальному процессу строится на основе анализа случайной компоненты. В расчетах случайная компонента заменяется остатками, представляющими собой разность фактических и расчетных значений
(2.28)
Принято считать, что модель адекватна описываемому процессу, если значения остаточной компоненты удовлетворяют свойствам случайности, независимости и подчиняются нормальному закону распределения.
При правильном выборе тренда отклонения от него будут носить случайный характер. В случае если вид функции выбран неудачно, то последовательные значения остатков могут не обладать свойством независимости, т.е. они могут коррелировать между собой. В этом случае говорят, что имеет место автокорреляция ошибок.
Существует несколько приемов обнаружения автокорреляции. Наиболее распространенным является критерий Дарбина – Уотсона. Этот критерий связан с гипотезой о существовании автокорреляции первого порядка. Его значения определяются по формуле
. (2.29)
Для понимания смысла этой формулы преобразуем ее, сделав предварительное допущение, положив . Непосредственное преобразование формулы осуществляется следующим образом:
.
При достаточно большом сумма из слагаемых значительно превосходит сумму из двух слагаемых и поэтому отношением этих величин можно пренебречь. Кроме того, отношение в квадратных скобках в силу того, что , можно считать коэффициентном корреляции между и . Таким образом, критерий Дарбина – Уотсона записывается в виде
. (2.30)
Полученное представление критерия позволяет сделать вывод, что статистика Дарбина – Уотсона связывает с выборочным коэффициентом корреляции . Таким образом, , и значение критерия может указывать на наличие или отсутствие автокорреляции в остатках. Причем, если , то . Если (положительная автокорреляция), то ; если (отрицательная автокорреляция), то .
Статистически значимая уверенность в наличии или отсутствии автокорреляции определяется с помощью таблицы критических точек распределения Дарбина – Уотсона. Таблица позволяет по заданному уровню значимости , числу наблюдений и количеству переменных в модели определить два значения: – нижняя граница и – верхняя граница.
Таким образом, алгоритм проверки автокоррелированности остатков по критерию Дарбина – Уотсона следующий:
1) Построение трендовой зависимости с помощью обычного МНК
;
2) Вычисление остатков
для каждого наблюдения ( );
3) Расчет статистики Дарбина – Уотсона;
4) По таблице критических точек определяются два числа и , и делается вывод в соответствии со следующим правилом:
– существует положительная автокорреляция;
– решение о наличии или отсутствии автокорреляции не принимается;
– автокорреляция отсутствует;
– решение о наличии или отсутствии автокорреляции не принимается;
– существует отрицательная автокорреляция.
Проверка гипотезы
: автокорреляция равна нулю
хорошо иллюстрируется графической схемой на рис. 2.1.
|
Рис. 2.1. Графическая схема проверки автокоррелированности остатков
Дата добавления: 2016-01-29; просмотров: 500;