Метод наименьших квадратов (МНК)
Простейшую экстраполяционную модель, отражающую взаимосвязь прогнозируемого показателя с некоторой переменной, формирующей динамику этого показателя, можно записать в виде
, (2.21)
где – значение -го наблюдения прогнозируемого показателя;
– значение переменой, формирующей динамику показателя в момент времени (для трендовых моделей, являющихся частным случаем экстраполяционных, );
– вектор неизвестных параметров, оцениваемых по данным временного ряда;
– функция, определяющая структуру трендовой модели (линейную, степенную и т.п.);
– ненаблюдаемая случайная величина, представляющая собой ту часть вариации показателя , которая не объясняется соответствующими изменениями переменной .
Чем ниже уровень вариаций около 0 возможных значений случайной величины , тем точнее модель отражает взаимодействие переменной с прогнозируемым показателем , т.е. параметры модели должны подбираться таким образом, чтобы минимизировать сумму квадратов отклонений (случайных составляющих )
. (2.22)
В общем случае поиск оптимальных параметров сводится к решению нелинейной экстремальной задачи. Обычно рассматривают линейный случай
(2.23)
который значительно упрощает решение этой задачи.
Рассмотрим применение метода наименьших квадратов к случаю построения линейного тренда. Для этого случая (2.22) перепишется в виде
(2.24)
Применяя дифференциальное исчисление для минимизации (2.24) и дифференцируя по и , получаем систему линейных уравнений
(2.25)
Разделив левую и правую части этой системы на число наблюдений и произведя замену:
; ; ; ,
перепишем систему (2.25) в виде
(2.26)
Дата добавления: 2016-01-29; просмотров: 526;