Плоское движение твердого тела

Движение твердого тела называется плоским(плоскопараллельным), если каждая точка тела движется в одной и той же плоскости.

8.1.1 Свойства плоского движения:

ü точки тела движутся в плоскостях параллельных между собой и некоторой фиксированной плоскости П₀;

ü траектории точек – плоские кривые;

ü для изучения плоского движения тела достаточно изучить движение плоской фигуры S в сечении плоскостью П÷÷ П₀;

ü положение плоской фигуры S однозначно определяется положением в этом сечении отрезка АВ; положение отрезка АВ однозначно определяется координатами произвольно выбранной точки А (полюса) и углом φ: - уравнения плоского движения твердого тела;

ü движение плоской фигуры S в ее плоскости П может рассматриваться как сумма поступательного движения всех точек фигуры, движущихся как полюс – точка А и вращения фигуры S вокруг этого полюса;

ü поступательное движение полюса и угол поворота φ не зависят от выбора полюса.

Доказательство

Так как , то

8.1.3 Планом скоростей называется векторная диаграмма, построенная на основе теоремы сложения скоростей. Покажем порядок построения плана скоростей для кривошипно-ползунного механизма – широко распространенного в сельхозмашиностроении и других отраслях.

Кривошипно-ползунный механизм состоит из трех подвижных звеньев: кривошипа ОА; шатуна АВС; ползуна (поршня) В и неподвижной стойки (заштриховано). Если заданы: положение механизма, угловая скорость кривошипа ω_ОА, длины звеньев , то можно рассчитать модуль скорости точки А по формуле ; вектор направлен перпендикулярно кривошипу ОА в сторону, указанную .

Из произвольной точки Р_V (полюс плана скоростей) отложим в масштабе вектор , его конец обозначим буквой а. Шатун АВ совершает плоское движение, применим к нему теорему сложения скоростей

.

Из конца вектора проведем перпендикуляр к АВ, а из полюса плана P_V//OB. Точку пересечения обозначим b. Проведем из полюса P_V стрелки к точкам a и b. Это в масштабе векторы скоростей и . Вектор изображен на плане скоростей отрезком ab и направлен от a к b.

Чтобы определить скорость точки С шатуна составим по теореме сложения скоростей два векторных уравнения, приняв за полюсы точки А и В:

Чтобы совместно графически решить эти уравнения, проведем из точки a плана скоростей перпендикуляр к АС, а из точки b перпендикуляр к ВС. Точку их пересечения обозначим с. Стрелка из полюса плана скоростей P_V к точке c – в масштабе вектор . План построен.

Свойства плана скоростей:

ü масштаб плана скоростей определяется по заданному вектору скорости ( или ) с помощью масштабного коэффициента , который рассчитывают разделив модуль заданной скорости на выбранную длину, например, ;

ü полюс плана скоростей точка P_V, в этой точке находятся точки, скорость которых равна нулю (например, неподвижная точка стойки О;

ü скорость любой точки механизма относительно стойки (например, ) изображается отрезком, направленным от полюса плана P_V к соответствующей точке (отрезок P_vc);

ü скорость вращения одной точки какого-либо звена вокруг другой (например, точки С вокруг точки А - ) изображается одноименным отрезком (ac), направлен вектор к той точке, которую вращают (к точке с);

ü модуль угловой скорости звена равен частному от деления скорости вращения одной точки этого звена вокруг другой на натуральную длину расстояния между точками на звене механизма (например, );

ü модуль любой скорости механизма можно определить, умножив длину соответствующего отрезка на плане скоростей на масштабный коэффициент (например, );

ü если на плане найдены скорости двух точек звена, то скорость любой другой точки этого звена можно найти по правилу подобия: если на звене механизма точки образуют геометрическую фигуру, то одноименные точки на плане скоростей образуют подобную сходственно расположенную (повернутую в плоскости чертежа) фигуру (например, ~ ).

8.1.4