Модель прямой линии. Взаимное положение прямых линий

Моделью прямой линии на эпюре Монжа в общем случае является пара прямых линий, в частном случае – прямая и точка. Точка, лежащая на прямой линии, имеет проекции, лежащие на одноименных проекциях прямой линии. Проекция точки делит проекции отрезка прямой линии в том же отношении, в котором сама точка делит отрезок прямой в пространстве. По отношению к плоскостям проекций прямые линии занимают различное положение. Прямые линии, расположенные под произвольными углами к плоскостям проекций, называют прямыми линиями общего положения. Прямые линии общего положения различают: восходящие (рис. 2.4, а) и нисходящие (рис. 2.4, б). Восходящие прямые линии по мере удаления от наблюдателя поднимаются вверх (их проекции расходятся на чертеже), а нисходящие прямые линии по мере удаления от наблюдателя опускаются вниз (их проекции сходятся на чертеже).

а) б)

Рис. 2.4. Модель прямой линии общего положения:

а – восходящая прямая линия, б – нисходящая прямая линия

Среди множества точек прямой линии следует выделить особые точки. Точка М пересечения прямой l c горизонтальной плоскостью называется горизонтальным следом, а точка N пересечения прямой l с фронтальной плоскостью проекций – фронтальным следом прямой. Точка D пересечения прямой l с тождественной плоскостью τ называется двойной точкой. Чтобы определить проекции горизонтального следа, необходимо фронтальную проекцию прямой l₂ продолжить до пересечения с осью проекций, получим М₂ (рис. 2.4, а). Затем из полученной точки М₂ проведем линию связи до пересечения с горизонтальной проекцией прямой l₁, получим М₂. Чтобы определить проекции фронтального следа, необходимо горизонтальную проекцию прямой l₁ продолжить до пересечения с осью проекций, получим N₁. Затем из полученной точки N₁ проведем линию связи до пересечения с фронтальной проекцией прямой l₂ (получим N₂). Так как проекции точек, лежащих в тождественной плоскости, совпадают, то для определения двойной точки на прямой линии, необходимо продолжить проекции прямой до взаимного пересечения (рис. 2.4, б).

Кроме прямых общего существуют прямые частного положения по отношению к плоскостям проекций и центрам проецирования (рис. 2.5, а, б, в, г, д и е).

а) б) в)

г) д) е)

Рис. 2.5. Прямые линии частного положения:

а – горизонталь, б – фронталь, в – профильная прямая линия, г – горизонтально проецирующая прямая линия, д – фронтально проецирующая прямая линия, е – профильно проецирующая прямая линия

Прямая линия, параллельная горизонтальной плоскости проекций, называется горизонталью (h). Для всех точек этой прямой координата Z постоянна. Отличительным признаком горизонтали на эпюре Монжа является то, что её фронтальная проекции параллельна оси проекций (рис. 2.5, а). Свойством горизонтали является то, что её горизонтальная проекция равна натуральной величине прямой линии, а угол наклона прямой линии к π₂ равен углу наклона горизонтальной проекции прямой линии к оси проекций. Прямая линия, параллельная фронтальной плоскости проекций, называется фронталью (f). Для всех точек этой прямой координата Y постоянна. Отличительным признаком фронтали на эпюре Монжа является то, что её горизонтальная проекции параллельна оси проекций (рис. 2.5, б). Свойством фронтали является то, что её фронтальная проекция равна натуральной величине прямой линии, а угол наклона прямой линии к π₁ равен углу наклона фронтальной проекции прямой линии к оси проекций. Прямая линия, параллельная профильной плоскости проекций, называется профильной прямой (p). Такая прямая линия неоднозначно моделируется на эпюре Монжа, так как ее проекции совпадают с линией связи и являются одновременно моделью множества прямых линий в пространстве. Для того чтобы модель профильной прямой линии стала однозначной, необходимо задать третью проекцию (рис. 2.5, в) или указать на прямой линии хотя бы пару принадлежащих ей точек. Прямые, параллельные плоскостям проекций, объединяются общим названием – линии уровня. Прямые линии, проходящие через центр проецирования и, следовательно, перпендикулярные к плоскостям проекций, называются проецирующими. Прямая линия, проходящая через центр проецирования S₁ и перпендикулярная к горизонтальной плоскости проекций π₁, называется горизонтально проецирующей (a). Отличительным признаком горизонтально проецирующей прямой линии является то, что фронтальная проекция прямой перпендикулярна к оси проекций, а горизонтальная проекция прямой линии вырождается в точку (рис. 2.5, г). Прямая линия, проходящая через центр проецирования S₂ и перпендикулярная к фронтальной плоскости проекций π₂, называется фронтально проецирующей (b). Отличительным признаком фронтально проецирующей прямой линии является то, что горизонтальная проекция прямой перпендикулярна к оси проекций, а фронтальная проекция прямой вырождается в точку (рис. 2.5, д). Прямая линия, перпендикулярная к профильной плоскости проекций π₃, называется профильно проецирующей (c). Отличительным признаком профильно проецирующей прямой линии является то, что горизонтальная и фронтальная проекции параллельны оси проекций (рис. 2.5, е). Проецирующие прямые линии, параллельные одновременно двум плоскостям проекций, обладает важным собирательным свойством, так как они вырождаются в одну точку. Все шесть ребер пирамиды ABCS являются прямыми частного положения: горизонталь ВС, фронталь SС, профильная прямая линия SВ, горизонтально проецирующая прямая линия SА, фронтально проецирующая прямая линия АВ, профильно проецирующая прямая линия АС (рис. 2.6).

Рис. 2.6. Наглядное изображение и эпюр пирамиды

Прямые в пространстве могут занимать различные взаимные положения: пересекаться в собственной точке, пересекаться в несобственной точке (т.е. могут быть параллельны) и скрещиваться. Возникает вопрос: как определить взаимное положение прямых линий в пространстве по их моделям на эпюре Монжа? Если прямые пересекаются, то они имеют общую точку, а значит, их проекции пересекаются в точках, лежащих на одной линии связи (рис. 2.7, а). Если прямые параллельны, то их одноименные проекции параллельны (рис. 2.7, б). Если прямые скрещиваются, то они не имеют общих точек. Их проекции могут пересекаться в точках, в точках не лежащих на одной линии связи (рис. 2.7, в). Точки пересечения проекций скрещивающихся прямых, лежащие на одной проецирующей прямой, называются конкурирующими. Их удобно использовать для определения видимости на чертеже. Условно принято, что наблюдатель, рассматривающий чертеж, помещен в центр проецирования. Поэтому точки, расположенные ближе к наблюдателю, перекрывают точки, расположенные ближе к плоскостям проекций. Видимость на чертеже определяется для каждой плоскости проекций отдельно. Обозначение невидимых точек обычно помещают в скобках. На горизонтальной плоскости проекций точка 1 перекрывает точку 2, а на фронтальной проекции точка 3 перекрывает точку 4.

а) б) в)

Рис. 2.7. Взаимное положение прямых линий:

а – пересекаются, б – параллельны, в - скрещиваются