Метод двух изображений. Модель точки на эпюре Монжа. Связь между ортогональными проекциями и декартовой системой координат
МЕТОД ДВУХ ИЗОБРАЖЕНИЙ
С помощью операции проецирования можно получить проекцию любой точки пространства, но по проекции точки невозможно определить положение точки в пространстве. Действительно, точке пространства на плоскости соответствует единственная точка, но если мы попытаемся по проекции точки определить положение самой точки в пространстве, то увидим, что проекции точки соответствует все множество точек проецирующего луча. Для установления взаимно однозначного соответствия между точками пространства и их моделью используют метод двух изображений. В трехмерном пространстве выбирают две плоскости проекций и два центра проецирования. В зависимости от взаимного расположения плоскостей проекций и центров проецирования, а также в зависимости от способа перехода к одной картинной плоскости возникают различные частные варианты метода двух изображений. На практике наибольшее распространение получили следующие варианты метода двух изображений: эпюр Монжа, перспектива и аксонометрия.
Для выполнения технических чертежей особенно удобен эпюр Монжа – параллельное ортогональное проецирование на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций (рис. 2.1.). В исходном пространстве выбираются две взаимно перпендикулярные плоскости проекций (π1 и π2) и два бесконечно удаленных центра проецирования (S1 и S2). Центр S1 удален по направлению, перпендикулярному к π1, а S2 – по направлению, перпендикулярному к π2. Линия пересечения плоскостей проекций называется осью проекций х. Плоскость проецирующих лучей α (S1S2А)расположена перпендикулярно к плоскостям проекций и пересекает их по прямым линиям а1 и а2, перпендикулярным к оси проекций х. Для перехода к одной плоскости чертежа спроецируем изображение с π1 на π2 из бесконечно удаленного центра R, в направлении под углом 45° к плоскостям проекций, что равносильно повороту плоскости π1 вокруг оси х до совмещения с π2 (рис. 2. 2). Прямые линии а1 и α2 на эпюре сливаются в одну линию связи между проекциями, перпендикулярные к оси проекций х. Моделью точки А на эпюре Монжа является пара точек А1 и А2, расположенных на линии связи. Плоскости проекций условно делят пространство на четыре четверти (квадранта).
Рис. 2.1. Параллельное ортогональное проецирование точек на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций
Если точка А расположена в первой четверти пространства, то ее проекции на эпюре Монжа располагаются по обе стороны от оси проекций: А1 расположена внизу, а А2 – вверху. Проекции точки, расположенной во второй четверти пространства, будут лежать над осью проекций. Проекции точки В, лежащей в третьей четверти пространства, располагаются по обе стороны от оси, но В1 лежит над осью, а В2 – под осью. Для точки, лежащей в четвертой четверти пространства, обе проекции расположены под осью проекций. Если точка расположена во фронтальной плоскости, то на эпюре Монжа её горизонтальная проекция лежит на оси х. Если точка С расположена в горизонтальной плоскости, то ее фронтальная проекция лежит на оси проекций.
| |||
| |||
Рис. 2.2. Эпюр Монжа
В аналитической геометрии положение точки в пространстве задается тремя координатами х, у и z прямоугольной декартовой системы координат. Чтобы установить связь между ортогональными проекциями точки и ее координатами, необходимо подсоединить координатные оси к плоскостям проекций. Начало отсчета точка О выбирается на оси проекций, ось абсцисс х совпадает с осью проекций, ось ординат у располагаем в плоскости π1, ось аппликат z – в плоскости π2 (рис. 2.1 и 2.2). На эпюре Монжа оси ординат и аппликат совпадают между собой, но имеют разные направления и расположены перпендикулярно к оси проекций, с которой совпадает ось абсцисс (рис. 2.2). Расстояние от точки А до горизонтальной плоскости проекций равно координате ZA и измеряется от фронтальной проекции точки А2 до оси проекций. Расстояние от точки А до фронтальной плоскости проекций равно координате УA и измеряется от горизонтальной проекции точки А1 до оси проекций. Если заданы координаты точки, то всегда можно построить её проекции, и, наоборот, по проекциям точки можно определить её координаты. Рассмотрим особенности проекций точек расположенных в биссекторной плоскости τ (делящей двугранный угол пополам), проходящей через вторую и четвертую четверти пространства. Эти точки равноудалены от плоскостей проекций и их проекции на эпюре Монжа совпадают (точка D на рис. 2.1, 2.2, 2.3).
Рис. 2.3. Тождественная плоскость
Дата добавления: 2016-01-29; просмотров: 2578;