Модели временных рядов

Временные ряды

При анализе многих экономических показателей, особенно в макроэкономике, часто используются ежегодные, ежеквартальные, ежемесячные, ежедневные данные, например ВНП, Чистый Экспорт, Объем Продаж. В этом случае данные упорядочивают по времени и строят так называемые «временные ряды».

Временной ряд — совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов.

Пример:

Пусть

— выпуск продукции предприятием в год ;

— инвестиции в год .

Выпуск может зависеть не только от , но и от инвестиций в предыдущие годы:

Другими словами, эндогенная переменная (зависимая) с запаздыванием реагирует на изменение экзогенной переменной (независимой).

Принято выделять различные причины временных лагов:

• психологические, связанные с инерцией людей (например, люди тратят деньги постепенно);
• технологические, обусловленные тем, что любая инновация или изобретение не сразу внедряется в производство. Причем его внедрение должно сопровождаться разработкой соответствующего программного обеспечения.
• институциональные, происходящие из-за того, что заключение контракта между фирмами требует постоянства и выполнения условий в течение времени контракта. Вследствие этого возникает ограниченность возможностей фирмы во внедрении новых технологий и привлечении инвестиций.
• механизмы формирования экономических показателей, например, инфляция, денежный мультипликатор (создание денег в банковской системе) проявляются на определенном интервале.

Модели временных рядов

Модели временных рядов — модели, построенные по данным, характеризующим один объект за ряд последовательных моментов времени. Дадим классификацию моделей временных рядов.

Рис.1 Модели временных рядов

Модели временных рядов делятся на (см. рис.1):

Модели распределенных лагов «Distributed Lags» (DL)

, где – порядок модели или максимальный лаг:

В данном классе моделей эндогенная переменная оценивается через экзогенные.

Так как все лаговые переменные — детерминированные, а ~ (Independent Identically Distribution, независимое, идентичное), то мы можем оценивать эту модель Методом Наименьших Квадратов.

Идентичность означает, что каждое из измерений подчиняется одному и тому же распределению вероятности с одними и теми же параметрами.

Пример:

;

.

Разновидности этой модели:

• Модели полиномиальных лагов, которые решаются методом Алмона (Almon);
• Модели геометрических лагов, которые решаются моделью Койка (Koyck).

Динамические модели «Auto Regression» (AR)

Особенность данного вида рядов состоит в том, что они содержат лагированные эндогенные переменные в правой части.

, где – порядок модели или максимальный лаг:

.

Пример:

.

Авторегрессия может иметь вид:

• ARMA (Auto Regression of Moving Average);
• ARIMA (Integrated Auto Regression of Moving Average).

Авторегрессионые модели с лагом «Auto Regression Distributed Lags» (ADL)

Если в модели интегрируются последовательные разницы, то такие модели называются интегрированными.

, где — максимальный лаг эндогенной переменной, а — максимальный лаг экзогенной переменной.

,

где , ( — размер выборки).

Пример:

;

.