Случайное блуждание (random walk)

Определение 1: (Уотшем, Парамоу «Количественные методы в финансах») Случайное блуждание — такой процесс, где каждое значение случайной переменной не зависит от всех предыдущих измерений, подчиняется идентичному распределению вероятностей (рис.3 исправить).

Определение 2: (Уотшем, Парамоу «Количественные методы в финансах») Случайное блуждание — это стохастический процесс, где изменения уровня достигаются прибавлением случайной переменной , с постоянной дисперсией и средней, равной нулю:

, ~ , .

Определение 3: (Кремер «Эконометрика») Случайное блуждание — процесс с нулевым математическим ожиданием, при котором последующие значения могут одинаково легко приближаться к нулевому среднему и отдаляться от него.

Рис.3 Случайное Блуждание (Random Walk)

Требуется показать, что ряд не стационарен.

I способ

Для того чтобы ответить на этот вопрос, сначала рассмотрим процесс :

, ~ , .

Покажем, что этот ряд является стационарным процессом:

,

применим оператор к и так как , тогда

,

(1).

По биному Ньютона

,

Тогда из уравнения (1) получим:

.

Так как выполняется , ( ), то

(2),

где — бесконечная убывающая геометрическая прогрессия .

Тогда применив формулу суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии получим:

.

Теперь проверим, выполняются ли для данного ряда условия слабой стационарности:

1. ,

так как и .

Применяя оператор к замечаем, что дисперсию суммы можно заменить на сумму дисперсий, так как все остатки независимы друг от друга.

1. ,

Используя свойство идентичности остатков, имеем:

,

если

1. = < ∞. (Доказать в контрольной работе в задаче №9).

Ряд стационарен.

При и получаем — стационарный ряд, «Белый шум»;

При и получаем — «Случайное блуждание». Ряд не стационарен, так как из-за того, что и .

Как еще отличить от случайного блуждания? В записи (2) видно, что влияние возмущений со временем уменьшается (при ), то есть возмущение в момент времени меньше чем в момент и так далее. При влияние возмущения со временем не затухает, то есть возмущения в момент времени , вносят такой же вклад как и e_t в момент времени .

II способ

Покажем без преобразований, что — «Случайное блуждание» — не стационарный процесс.

1. , так как и , то ничего конкретно не можем сказать о том, что — конечно.
2. При ,если , то

при

при

Таким образом, видно, что дисперсия этого процесса бесконечна, то есть процесс не стационарен.

Случайное блуждание является частным случаем более общего стохастического процесса, который называется мартингалом.

! Стохастический процесс описывает изменения переменной (случайной величины), характеризующиеся неопределенностью, то есть в отсутствии информации о вероятностном распределении этой переменной. !

Мартингал является более общим стохастическим процессом потому, что в этом случае случайная величина, хоть и должна обладать нулевым математическим ожиданием, но не обязательно должна иметь постоянную дисперсию, а изменения не обязаны быть независимыми. В общем виде такой процесс можно записать в виде:

Если

Субмартингал — случайное блуждание с «положительным» сдвигом.

Супрамартингал — случайное блуждание с «отрицательным» сдвигом.

Сдвиг означает временную тенденцию, а именно — тренд.

Введем оператор последовательной разницы:

,

обозначим , тогда случайное блуждание превращается в процесс , а это есть белый шум:

,

,

,

.

Случайное блуждание само по себе не стационарно. Однако если применить к нему оператор взятия последовательной разницы, то получим стационарный ряд: «белый шум» — ряд последовательных разниц первого порядка, где под порядком понимается количество последовательных применений операторов.

В экономике принято использовать индексы. Индекс — единичный описательный статистический показатель, который обобщает относительное изменение одной переменной или группы переменных. Например, индекс, который отражает изменение цен большого количества акций — индекс FTSE 100 — обобщает изменение цен 100 акций, зарегистрированных на Лондонской Фондовой Бирже.

Рис.4.1 Временной ряд индексов доходности	Рис.4.2 Временной ряд нормы доходности