Принципы анализа математических моделей

Всегда существуют расхождение между результатами, предсказываемыми математической моделью, и фактическими результатами на­блюдений. Эти расхождения являются мерой неадекватности модели. Очень часто математическая модель дает только каче­ственные описания реального объекта. Однако не следует думать, что это слабый результат. Во многих случаях даже очень качественная приблизительная модель вносит значительный вклад в понимание исследуемого процесса, особенностей динамического поведения системы.

Качественное описание объекта желательно дополнить его количественным описанием, т. е. модели­рованием с высоким уровнем адекватности. Однако к высокому уровню адекватности не всегда целесооб­разно стремиться. Следует иметь в виду, что чем выше уровень адекватности, тем сложнее математическая модель, обеспечиваю­щая этот уровень, и, следовательно, труднее ею пользоваться. В связи с этим возникает необходимость построе­ния «конструктивной» модели, которая обеспечивает разумную в данной ситуации адекватность и, в то же время, достаточно ком­пактна и допускает численные решения с использованием со­временной вычислительной техники. Иными словами, необходим поиск разумного компро­мисса между требованиями компактности и адекватности.

Стационарные состояния.Обычно анализ системы начинают с установления ее стационарных состояний. Это сделать легко, приравняв нулю производные по времени. Для того, чтобы получить большую информацию о дина­мическом поведении системы необходимо исследовать устойчивость ее стационар­ных состояний. Стационарная точка является устойчивой, если при любом, как угодно малом, отклонении от стационарного состоя­ния она возвращается в него. Если же при малых отклонениях от стационарного состояния система удаляется от него, то такое состояние называется неустойчи­вым. Отсюда следует, что для определения устойчивости достаточно исследовать малые отклонения от стационарного состояния, т. е. изучить поведение системы, линеаризированной вблизи стационарной точки.

Полученные результаты дают некоторое представление о динамических свойствах системы. Имея. например, две устойчивые стационарные точки (узлы), система является бистабильной. Чтобы перейти к следующему этапу исследований, нужно построить так называемый фазовый портрет системы.

Фазовый портрет системы уравненийРешение динами­ческой системы представляет собой зависимость от времени всех динамических переменных, описывающих состояние системы. Однако наглядное представление о качественных особенностях динамического поведения дает фазовая диаграмма (или фазовый портрет) системы. На фазовом портрете на осях коорди­нат откладывают значения динамических переменных; состояние системы в данный момент времени задается точкой на фазовой плоскости. В системе с двумя степенями свободы фазовый портрет представляет собой плоскость. При измене­нии состояния системы во времени изображающая ее точка описывает на фазо­вой плоскости некоторую кривую, называемую фазовой траекторией. Исключив временной параметр из системы уравнений, получим уравнение, решение которого оп­ределяет фазовые траектории переменных, описывающих состояние системы. Касательная к фазовой траектории параллельна оси абсцисс (оси х).Эта кривая называется главной изоклиной (точнее, она является одной из главных изоклин).

Изоклина дифференциального уравнения первого порядка - линия, на всём протяжении которой наклон, определяемый уравнением, сохраняет постоянное значение.

Точки пересечения главных изоклин явля­ются стационарными точками системы.

Области притяжения в фазовой плоскости - это области, имеющие устойчивое состояние, к которому стремятся по некоторым траектори­ям состояния данной динамической системы и заканчиваются в устойчивых стационарных точках.

Линия, кото­рая разделяет фазовую плоскость на две части, две области притяжения к соответствующим различным стационарным точкам, называется сепартрисой. Следовательно, сепартриса играет роль водораздела: по обе стороны; от нее траектории «текут» в разные стороны. Следовательно, область расположения сепартрисы является неустойчивой областью бифуркаций, когда малое, даже случайное изменение системы может перевести её из одной области притяжения в другую область притяжения и, следовательно, в итоге в другую стационарную точку.

Бифуркация - приобретение нового качества в движениях динамической системы при малом изменении ее параметров.

Анализ бифуркаций (метод качественной теории диффе­ренциальных уравнений) играет большую роль при разработке ма­тематической модели. Основы теории бифуркации были заложены ещё А. Пуанкаре и А. М. Ляпуновым в начале 20 века, затем эта теория была развита А. А. Андроновым с учениками. Эта теория стала основой "математической термодинамики", в частности "статистической механики необратимых процессов" (её сейчас называют модным словом "синергетика"). Одному из её основоположников, учёному российского происхождения И.Р. Пригожину за достижения в этой области была присуждена Нобелевская премия. Уравнения, полученные на основе этой теории, могут описывать процессы, происходящие не только технике и природе (например, изменения структуры и свойств материалов), но даже в обществе. В металловедении, например, "точки бифуркации" это точки фазового перехода, когда малые изменения состава могут привести к качественным изменениям структуры.

Приведенный пример фазового портрета является частным случаем, который не исчерпывает всех возможностей динамического поведения.

Если корни характеристического уравнения являются комплексными (стационарная точка в этом' случае называется фокусом), то система может находиться в колебательном ре­жиме. Этот процесс может быть затухающим или незатухающим в зависимости от знака действительной части характеристического корня. Если фокус неустой­чив, то траектории могут не уходить в бесконечность, а образовывать на фазовой плоскости замкнутую кривую, называемую «предельным циклом». В этом случае в системе возможны незатухающие колебания.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Как определить критерии подобия, если известны математические модели моделируемой системы и системы, являющейся физической моделью?

2. Какие преимущества при математическом моделировании дает введение безразмерных переменных?

3. Из каких условий определяются единицы измерения динамических пере­менных и независимой переменной при их «обезразмеривании»?

4. Какие преимущества достигаются в результате редукции системы урав­нений?

5. На чем основана возможность редукции системы динамических уравнений?'

6. Что такое главные изоклины и просто изоклины?

7. Что такое фазовый портрет динамической системы?

8. Как определить стационарные состояния динамической системы?

9. Как влияет на поведение динамической системы наличие неустойчивой стационарной точки - седла?

10. Как исследовать устойчивость стационарного состояния?