Матрицы линейных преобразований
Пусть в - мерном линейном пространстве с базисом , ,…, задано линейное преобразование А. Тогда векторы , ,…, - являются векторами этого пространства и их можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса:
= + +…+ ,
= + +…+ ,
……………………………….
= + +…+ .
В этом случае матрица называется матрицей линейного преобразованияА. Пусть = + +…+ - произвольный вектор в пространстве . Тогда
; ,
где
,
,
……………………………..
.
Эти равенства называются линейным преобразованием в базисе , ,…, .
В матричном виде
; ; .
Пример. Найти матрицу линейного преобразования, заданного в виде
;
;
.
На практике действия над линейными преобразованиями сводятся к действиям над их матрицами.
Определение. Если вектор переводится в вектор линейным преобразованием с матрицей А, а вектор в вектор линейным преобразованием с матрицей В, то последовательное применение этих преобразований равносильно линейному преобразованию, переводящему вектор в вектор (оно называется произведением составляющих преобразований).
.
Пример. Задано линейное преобразование А, переводящее вектор в вектор и линейное преобразование В, переводящее вектор в вектор . Найти матрицу линейного преобразования, переводящего вектор в вектор .
т.е.
Замечание. Если то преобразование является вырожденным.
Дата добавления: 2015-11-28; просмотров: 698;