Задачи фильтрации и методы ее реализации
Сигнал, несущий полезное сообщение, принимаемый в аддитивной смеси со случайной помехой, сам является случайным сигналом. Отсюда возникает проблема оптимального выделения случайного сигнала на фоне случайной помехи. Эта проблема распадается на ряд частных задач в зависимости от требований приложений результатов обработки. Можно определить наиболее характерные задачи фильтрации.
1. В силу ограниченности времени наблюдения в процессе обработки принимаемого колебания (смеси) находится не сам полезный сигнал, а его оценка, при этом ставится задача нахождения формы полезного сигнала с минимальными искажениями полезного случайного сигнала s(t).
Мерой качества фильтрации при этом может служить средний по множеству реализаций квадрат отклонения оценки сигнала , полученный на выходе системы обработки (фильтра), от истинной формы полезного сигнала, т.е. дисперсия оценки:
. (5.24)
Критерием оптимальности отвечает минимизация оценки .
Относительно располагаемых реализаций случайного полезного сигнала можно различить два случая: а) наблюдения фиксированной длительности Т, когда обрабатываемое колебание задано (записано) на фиксированном отрезке [0,T], при этом возможно его многократное воспроизведение для обработки (встречается в условиях научного эксперимента, в разведке и т.д., б) текущее наблюдение, когда оценка полезного сигнала осуществляется в реальном текущем времени [0,t].
Кроме того, возможна в некоторых приложениях ситуация, когда отыскивается оценка на интервале времени, не совпадающем с интервалом наблюдения, т.е. при наблюдении процесса y(t) = s + n находится оценка , когда τ = 0, то решается задача текущей фильтрации, при τ > 0 – задача фильтрации с упреждением (предсказанием) или задача экстраполяции, при τ < 0 – задача фильтрации с запаздыванием или задача интерполяции (сглаживания).
2. При необходимости определения только наличия или отсутствия сигнала наилучшим критерием оптимальности фильтрации, а значит и постановки задачи фильтрации, является отыскание максимального отношения сигнал/помеха. Эта задача имеет самое широкое применение в системах связи, передачи информации.
При обсуждении вопросов фильтрации различают два ее вида: линейную и нелинейную фильтрацию.
При линейной фильтрации сигналы претерпевают только линейные преобразования: усиление, суммирование, дифференцирование, интегрирование. Процессы в линейной фильтрации описываются линейными дифференциальными уравнениями, имеется линейная связь между изменениями входного и выходного сигналов и справедливость принципа суперпозиции. Эти свойства присущие только линейным цепям, упрощают как реализацию, так и математическое описание линейных фильтров, что привело к выделению их в самостоятельный класс фильтров, получивших широкое применение.
Понятно, что, ограничиваясь применением только линейных фильтров, мы существенно снижаем свои возможности, т.к. в иных случаях нелинейная фильтрация может быть более оптимальной и дать лучший результат.
При нелинейной фильтрации осуществляются нелинейные преобразования сигналов (перемножение, возведение в степень и др.). Выходной сигнал нелинейного фильтра, в общем случае, определяется нелинейным дифференциальным уравнением.
Нелинейная обработка сигналов в ряде случаев позволяет получить более высокие показатели качества обработки, чем линейная, а иногда является единственно возможной формой обработки сигналов. Например, в случае, когда информационными параметрами являются фаза или частота сигнала, в силу нелинейной зависимости реализации сигнала от фильтруемого параметра может использоваться только нелинейная фильтрация. При этом оптимальными оказываются следящие фильтры (устройства фазовой или частотной автоподстройки частоты).
Литература:
[1] стр. 208-209. [2] стр. 180. [3] стр. 174.
Контрольные вопросы:
1. В чем заключается задача фильтрации сигнала?
2. Какие задачи решают оптимальные фильтры?
3. Как определяется оптимальность фильтра?
4. В чем разница между линейной и нелинейной фильтрацией?
5.10.2. Оптимальная линейная фильтрация по критерию
максимума отношения сигнал/шум (согласованные фильтры)
Комплексный спектр полезного сигнала
. (5.25)
Обозначим передаточную функцию оптимального фильтра, обеспечивающего максимальное отношение сигнал/шум на выходе фильтра в некоторый момент времени t0
. (5.26)
Значения отдельных спектральных составляющих полезного сигнала s(t) в момент t0:
.
Из физических соображений очевидно, что оптимальная фазочастотная характеристика фильтра φф(t) соответствует сведению к нулю в момент t0 фаз всех спектральных составляющих полезного сигнала на выходе фильтра. В этом случае обеспечивается максимальное значение выходного сигнала, поскольку все спектральные составляющие суммируются с одинаковой фазой, т.е. их амплитуды просто складываются.
,
для этого , т.е.
. (5.27)
Дисперсия шума не зависит от фазочастотной характеристики фильтра, т.к. определяется энергетическим спектром на выходе фильтра, который не зависит от фазы спектральных составляющих.
Для определения амплитудно-частотной характеристики фильтра , максимизирующей отношение мощностей сигнала и шума на его выходе в момент t0, оценим вклад в каждую из этих мощностей элементарных участков спектра df.
Вклад участка спектра сигнала df в величину Uвыхmax(t0) равен:
и соответствующий вклад в выходную мощность полезного сигнала:
dPsвых .
Выходная мощность шума, приходящаяся на участок спектра df:
dPnвых .
Отношение по всей полосе частот и тогда
отсюда
.
Опуская несущественный масштабный коэффициент k, получаем выражение для комплексной характеристики оптимального фильтра:
,
где S*(f) – комплексный сопряженный спектр сигнала.
В случае, когда на выходе белый шум и
. (5.28)
Таким образом, фильтр должен быть согласован (комплексно сопряжен) со спектром полезного сигнала (сомножитель не влияет на форму выходного сигнала, а только определяет задержку t0 момента достижения максимума). Такие фильтры получили название согласованных или оптимальных линейных фильтров.
Определим максимальное отношение сигнал/шум на выходе согласованного фильтра при действии белого шума.
Es – энергия полезного сигнала.
или для прямоугольного импульса Es = A2 × τu.
Средняя мощность шума на выходе фильтра:
.
При оценке энергии шума в полосе от -∞ до +∞ спектральная плотность выражается .
Тогда отношение по мощности:
. (5.29)
По напряжению отношения сигнал/шум будет:
. (5.30)
Это результат для белого шума (5.28), если шум не белый, то:
. (5.31)
Отсюда видно, что для обработки смеси необходимо небелый шум привести к белому, произвести "отбеливание" шума.
Рис. 5.8
Рассмотрим для примера согласованный фильтр для сигнала вида прямоугольного видеоимпульса.
.
Спектральный состав видеоимпульса:
. (5.32)
Комплексно-сопряженный спектр S*(jω) получаем при замене знака перед j:
.
Определим частотную характеристику согласованного фильтра в соответствии с выражением (5.28):
.
Последний сомножитель определяет задержку t0, которая означает, что искомое максимальное отношение сигнал/шум наступает только в момент t0. Считая, что энергия сигнала существует во время от 0 до τu (далее она равна нулю), принимаем величину задержки отсчета на выходе фильтра равной длительности импульса, т.е. t0 = τu, тогда
. (5.33)
Получена комплексная частотная характеристика, в которой
А – амплитудное значение импульса;
1/jω – отражает частотную характеристику интеграла;
- представляет задержку на τu.
Структурная схема согласованного с видеоимпульсом фильтра будет:
Рис. 5.9
Действующее напряжение в схеме:
Рис. 5.10
При этом оказывается, что искаженная форма выходного сигнала имеет общую длительность в 2τu, максимальное значение выходного сигнала достигается в точке t0 = τu. В этот момент на выходе фильтра отношение сигнал/шум будет максимальным именно в этот момент времени следует произвести отсчет сигнала на выходе фильтра.
Вместе с тем, спектральный состав видеоимпульса можно получить и в иной форме (см. лекцию 1):
S(jω) = A sin(ωτu/2). (5.34)
Разделив комплексный спектр на амплитудно-частотный и фазово-частотный получим графики (рис. 5.11)
Рис. 5.11
Литература:
[1] стр. 208-214. [2] стр. 180-186. [3] стр. 174-181.
Контрольные вопросы:
1. Почему согласованный фильтр называют оптимальным?
2. Почему оптимальный фильтр называют согласованным?
3. Какая форма сигнала на выходе согласованного фильтра?
4. Чему равно отношение сигнал/шум на выходе согласованного фильтра?
Дата добавления: 2016-01-18; просмотров: 2660;