Дисперсия, ее виды и свойства

Вариация признака складывается под воздействием множества факторов, т.к. социально-экономические явления и процессы носят сложный характер. В исследованиях иногда возникает необходимость оценить не только общую вариацию признака, но и ту ее часть, которая обусловлена действием постоянных, стабильных, а не случайных факторов. В этих случаях рассчитывают три вида дисперсии:

- общую;

- межгрупповую;

- внутригрупповую.

Общая дисперсия характеризует общую вариацию признака под влиянием всех факторов (условий, причин). Она рассчитывается по формуле 6.13:

, (6.13)

где − средняя по всей изучаемой совокупности.

Для определения влияния постоянного фактора на вариацию признака производят аналитическую группировку, в основании которой лежит данный фактор. Вариация, обусловленная фактором, положенным в основание группировки, оценивается с помощью межгрупповой дисперсии:

, (6.14)

где _гр – средняя по отдельным группам;

− численность отдельных групп.

Для определения влияния случайных факторов рассчитывают дисперсию внутри каждой группы, т.е. внутригрупповую

, (6.15)

где x_гр – индивидуальные значения признака в группе,

f_гр – их частоты;

а затем среднюю из внутригрупповых дисперсий

(6.16)

Доказано, что общая дисперсия равна сумме межгрупповой дисперсии и средней из внутригрупповых дисперсий:

(6.17)

Это равенство называется правилом сложения дисперсий.

Правило сложения дисперсий получило широкое распространение на практике. На его основе вычисляется эмпирическое корреляционное отношение (коэффициент корреляционного отношения или эмпирический коэффициент корреляционного отношения):

принимает значение от 0 до 1.

Оно показывает тесноту связи между признаками (раздел 10).

Возведенное в квадрат эмпирическое корреляционное отношение представляет собой коэффициент детерминации ( ), который характеризует долю общей колеблемости признака-результата, вызванную действием признака-фактора, положенного в основание группировки.

Наряду с вариацией количественного признака часто возникает необходимость измерить вариацию альтернативного признака.

Если ввести обозначения:

1 – наличие интересующего исследователя признака;

0 – отсутствие интересующего исследователя признака;

p – доля единиц, обладающих данным признаком;

q – доля единиц, не обладающих данным признаком,

то среднее значение альтернативного признака будет равно:

(6.18)

Тогда дисперсия альтернативного признака определяется по формуле

. (6.19)

Учитывая, что 1− p = q

. (6.20)

Таким образом, дисперсия альтернативного признака равна произведению доли единиц, обладающих данным признаком, на долю единиц, которые им не обладают:

либо . (6.21)

Дисперсия облает рядом математических свойств, которые значительно упрощают её вычисление. К основным из них относятся следующие:

1. Если все значения признака увеличить или уменьшить в А раз, то дисперсия соответственно увеличится или уменьшится в раз.

2. Если все значения признака увеличить или уменьшить на какое-то постоянное число x₀, то дисперсия от этого не изменится.

3. Если все значения частот различить или умножить на какое-то число b, то дисперсия от этого не изменится.

Используя эти свойства одновременно, можно рассчитать дисперсию по «способу моментов». Если взять за основу исходную формулу дисперсии

, (6.22)

то формула дисперсии, исчисляемой по «способу моментов», будет иметь вид:

(6.23)

Например, рассчитаем дисперсию выработки рабочих цеха № 2 по «способу моментов» (таблица 6.3).

Таблица 6.3 – Расчет дисперсии выработки по «способу моментов»

x	f	b=5		A=2
			-4 -2	-2 -1	-2 -2

Исходя из полученных данных:

.

Таким образом, результат не зависит от применяемой формулы. В нашем примере (цех № 2) по всем формулам (6.3, 6.6, 6.23) получено одно и то же значение дисперсии .