Свойства преобразований Фурье.

При спектральном анализе геофизических данных широко используются основные свойства преобразований Фурье, которые сводятся к следующему:

1) Свойство линейности, состоящее в том, что сумма сигналов и со спектрами и в спектральной области соответствует сумме их спектров: т.е. + + , а при умножении сигнала на число а, его спектр также умножается на это число, т.е. .

2) Свойство симметрии прямого и обратного преобразования Фурье для четных сигналов .

3) Свойство подобия, заключающееся в том, что сжатие (растяжение) сигнала приводит соответственно к растяжению (сжатию) спектра, т.е. если и а – константа, то . Отсюда следует, что чем короче сигнал, тем спектр шире.

4) Свойство запаздывания сигнала на время , приводящее к изменению фазового сдвига каждой гармоники на без изменения амплитудного спектра, т.е., если , то .

5) Свойство смещения спектра на величину , приводящее к умножению сигнала на комплексное число, т.е.

6) Свойство дифференцирования сигналов, состоящее в том, что если , то , т.е. дифференцирование сигнала приводит к обогащению спектра высокочастотными составляющими и уничтожает составляющие с нулевой частотой. Это свойство распространяется на производную любого порядка, т.е. .

7) Свойство интегрирования сигнала .

8) Свойство свертки двух сигналов. Сверткой двух сигналов и называется выражение .

В частотной области свертка сигналов равна произведению спектров этих сигналов: .

В частном случае свертки сигнала с сигналом обратного времени, т.е. когда = имеем .

9) Свойство свертки двух спектров, состоящее в том, что свертка двух спектров равна произведению сигналов, т.е. .