Оптимальная фильтрация

Методы теории оптимальных фильтров основываются на методах математической статистики. Оптимальный фильтр - это передаточная система, выполняющая оптимальную фильтрацию сигнала помехи. В качестве критерия оптимизации выступает минимум величины среднеквадратической погрешности. Можно использовать и другие критерии оптимизации, в зависимости от того, какой аспект использования выдвигается на передний план. В методе оптимальной фильтрации, как и в методе цифровой фильтрации первого порядка, используют для получения текущего отфильтрованного значения сигнала предыдущее отфильтрованное. Он дает взвешенные средние значения в виде:

где - весовая показательная функция, n- весовой показатель.

Такую рекурсивную формулу удобно применять в качестве алгоритма на ЭВМ. В качестве фактора сглаживания выбирается весовой показатель n. Очевидно, что при n=1 получаем среднее арифметическое значение предыдущего отфильтрованного значения сигнала и текущего зашумленного. Именно это значение берется в качестве текущего отфильтрованного значения сигнала. Таким образом, при n>1 будем получать соответствующие моменты более высокого порядка, причем при увеличении n влияние предыдущего отфильтрованного значения сигнала каждый раз значительно увеличивается.

Достоинством оптимальных фильтров является относительно небольшое количество вычислительных операций и, соответственно, простота реализации. Кроме этого, важным является то, что оптимальный фильтр используется в тех случаях, когда спектр частот полезного и налагаемого шумового сигналов находится в одной области значений, а их разделение традиционными ФНЧ или полосовыми фильтрами невозможно. Поэтому методы оптимальной фильтрации выполняют функцию выделения полезного сигнала на основе методов статистических оценок. Таким образом, данный метод может быть применен для высокодинамичных сигналов.

Прогрессивная интерполяция (метод усреднения)

Данный метод является простейшим методом повышения представительности измеренных значений за счет сглаживания случайных выбросов сигнала. Он используется главным образом в тех случаях, когда данные процесса служат для его контроля. Среднее значение формируется на основе измеренных значений по N циклам считывания:

Отдельные значения S суммируются. После выполнения суммирования вычисляется среднее значение путем деления суммы на число N. Шум, в данном случае, рассматривается в виде стационарного некоррелируемого процесса и характеризуется значением математического ожидания E(n), которое при достаточном числе проб стремится к нулю E(n)=0. Среднее арифметическое из суммы выборок сигнала с наложенным на него шумом будет равно: ,

где N - количество выборок в группе,

i - номер отсчета сигнала,

k - текущая выборка.

N должно выбираться не более необходимого для нахождения отсчета сигнала. Можно записать: .

Если частота выборок сигнала превышает высшую частоту спектра сигнала , то , откуда .

Поскольку среднее значение шума равно нулю, то значит в пределе при достаточно большом N мы должны получить в результате суммирования значение сигнала без примеси шума. Так как E(n)=0, доля примеси шума зависит от величины его дисперсии. Учитывая, что дисперсия случайной величины x равна запишем:

Если считать, что выборки не коррелируют друг с другом, можно окончательно записать, т.к. :

Это означает, что при усреднении N выборок сигнала и шума ожидаемое среднее значение амплитуды соответствует амплитуде сигнала, а дисперсия составляет . Поскольку среднее значение шума равно нулю, тогда для усредненного сигнала по N выборкам каждый отсчет .

.

Отсюда следует, что отношение сигнал/шум должно расти при усреднении пропорционально значению .

Несмотря на кажущуюся сложность реализации прогрессивной интерполяции (необходимость использования интегратора или сумматора, усредняющего устройства и интерполятора), а также существенное запаздывание, подобный метод сглаживания в системах уплотнения информации имеет ряд преимуществ перед запаздывающей фильтрацией, особенно в тех случаях, когда передаточная функция оптимального фильтра имеет высокий порядок. В подобной ситуации осуществить оптимальный фильтр бывает довольно сложно, и к тому же возникает проблема обеспечения устойчивости системы в целом.

Применение данного метода сглаживания помех имеет и ряд существенных ограничений:

Во-первых, как и метод цифровой фильтрации, метод усреднения эффективно применим для сигналов с низкой динамикой изменения и с высокочастотным сигналом помехи.

Во-вторых, данный метод характеризуется относительно большими временными затратами, т.к. при увеличении числа N, значительно увеличивается временная задержка формирования результирующих значений и резко возрастают требования к быстродействию аппаратуры сбора данных. Поэтому в случае быстроизменяющихся процессов, в которых вслед за сбором данных должны выполняться расчеты и выдаваться управляющие сигналы, метод прогрессивной интерполяции мало пригоден.

Широкое распространение на практике находит алгоритм «скользящего среднего», в котором также используется усреднение. В данном алгоритме с приходом каждой новой выборки усредняются последние N зашумленных выборок, а в канал передается поток отфильтрованных выборок, следующих с той же частотой, что и исходные. Не уступая в качестве сглаживания алгоритму прогрессивной интерполяции, алгоритм «скользящего среднего», может применяться для сглаживания более динамичных сигналов

Фильтрация сигналов с помощью фильтра нижних частот (ФНЧ)

Предположим, что на входе идеального ФНЧ действует смесь сигнала со спектральной плотностью и помехи со спектральной плотностью и что сигнал и помеха статистически независимы. Обычно полезный сигнал менее широкополосен и его спектр падает с ростом . Очевидно, в этом случае существует некоторое оптимальное значение полосы пропускания фильтра - , которое минимизирует среднеквадратическую погрешность фильтрации, поскольку увеличение полосы пропускания будет приводить к уменьшению погрешности от срезания высокочастотных составляющих спектра сигнала , но будет увеличивать погрешность от действия помехи Суммарное значение погрешности фильтрации, если пренебречь запаздыванием ФНЧ, можно записать в виде:

Оптимальное значение можно найти из соотношения: .

Например, для телеграфного сигнала с экспоненциальной корреляционной функцией , на который накладывается белый шум, оптможно найти следующим образом. Пусть , , так как

Учитывая что ; ;

,тогда

Подбирая параметры фильтра (параметрическая оптимизация), можно добиться весьма эффективного сглаживания сигнала. Как уже было показано выше качество интерполяции с помощью хорошо настроенного ФНЧ выше , чем у интерполятора первого порядка.