Напряженность магнитного поля. Связь между индукцией и напряженностью магнитного поля

Пусть некоторый контур с током создает магнитное поле. Если все пространство заполнено изотропным веществом с магнитной проницаемостью m₁[1], то в выбранной точке значение магнитной индукции будет . При заполнении всего пространства другим веществом с магнитной проницаемостью m₂ магнитная индукция в той же точке примет значение и т.д. Отношение же B/mm₀ (где m₀ – абсолютная магнитная проницаемость вакуума: m₀ = 4p × 10^-7 Гн/м) будет во всех случаях одинаково. Величину, равную отношению

(4.4)

называют напряженностью магнитного поля.

Напряженность магнитного поля не зависит от свойств среды, а зависит от силы тока, протекающего по контуру, формы контура и расположения его относительно выбранной точки. Направления векторов и в изотропной среде совпадают.

4.2. Закон Био – Савара – Лапласа

Ученые Био и Савар экспериментально установили, что величина зависит от величины тока, размеров и формы проводников, расстояния от проводников до точки, в которой находят величину . Лаплас обобщил результаты экспериметов Био и Савара и установил, что поле любого тока может быть вычислено как векторная сумма полей, созданных элементарными участками тока.

Итак, имеем проводник, по которому течет ток I (рис.4.3). Выберем на нем прямолинейный элемент тока .

Рис.4.3

Вектор зависит от многих параметров: (4.5) Магнитная индукция поля, созданного элементарным участком проводника, как следует из эксперимента, равна: (4.6) В векторной форме: (4.7)

где dB – значение магнитной индукции, создаваемой элементом тока dlна расстоянии rот проводника; m₀ – абсолютная магнитная проницаемость вакуума;

I– сила тока в проводнике; a - угол между направлением элемента и радиусом-вектором .

Таким образом, прямо пропорционален векторному произведению .

4.2.1. Применение закона Био-Савара–Лапласа для вычисления значения вектора

1. Поле движущегося электрического заряда

Запишем закон Био-Савара-Лапласа в векторной форме:

Заменим произведение Idl на s∙jdl, а j, как известно, равно j=n∙e∙u, где s – площадь сечения, j – плотность тока, n – число зарядов в единице объема, е – величина электрического заряда, u – средняя скорость упорядоченного движения зарядов.

Указанные выше соотношения справедливы, т.к. векторы и имеют одинаковое направление. Векторы и направлены одинаково, если заряд положительный, и противоположно, если заряд отрицательный. Подставим выражения и в формулу для :

Произведение sdl=dV - объем рассматриваемого проводника dl, dV∙n - число зарядов в данном элементе проводника.

Поле , созданное одним зарядом, получим путем деления выражения для на dV∙n.

Тогда

(4.8)

2. Поле, созданное бесконечно длинным проводником (прямым током)

Найдем величину в произвольной точке А (рис.4.4). Проведем силовую линию через точку А.

Рис.4.4

Из рис.4.4 видно, что в данном случае поле, созданное каждым участком проводника , будет перпендикулярно плоскости чертежа и направлено за чертеж. Значит, результирующее поле можно найти суммированием модулей векторов . По закону Био-Савара-Лапласа модуль вектора равен:

Преобразуем выражение для dB, используя соотношения, полученные нами из рис.4.4:

; ;

;

(4.9)

Угол α изменяется для бесконечно длинного проводника от 0 до p, в чем можно убедиться, взяв участок dl на большом удалении справа и слева от точки А.

Поле тока конечной длины

(4.10)

3. Магнитное поле кругового тока

а) Найдем циркуляцию магнитного поля в центре витка радиусом R, по которому протекает ток I (рис.4.5).

Разобьем весь круговой виток на элементы тока .

Рис.4.5

Тогда по закону Био-Савара-Лапласа магнитная индукция , создаваемая в точке О элементом , равна: где r = R; a = p/2 (для любого элемента ); sina = 1. Получаем:

Все векторы , создаваемые в точке Округового витка, направлены перпендикулярно к плоскости витка за чертеж.

Тогда

(4.11)

б) Если т. А лежит на оси кругового тока, вектор должен быть перпендикулярен наклонной плоскости, образованной векторами и (рис.4.6).

Рис.4.6

Отсюда следует, что направлен под углом к оси. Как следует из геометрии, угол между вектором и вертикалью равен β. Из соображений симметрии легко представить, что разные участки кругового тока создадут веер векторов . Составляющие вектора друг друга скомпенсируют, т.к. для симметричных относительно оси и одинаковых участков они направлены в противоположные стороны и равны. Составляющие от всех участков направлены в одну сторону по оси – их сумма и есть результирующий вектор :

Угол между и равен 90°, синус этого угла равен единице. Тогда

Учитывая, что R² + b² = r² , запишем:

(4.12)