Решение задачи традиционными методами. Алгоритм решения. Для решения данной задачи разработано много способов
Алгоритм решения. Для решения данной задачи разработано много способов. Рассмотрим один из наиболее распространенных – симплекс-метод Для его использования необходимо определить начальный базис, то есть решение, удовлетворяющее системе равенств (3.3.2.2). В некоторых задачах базис просматривается непосредственно, но во многих его необходимо найти.
В данной задаче базис определить легко. Для этого требуется взять m неизвестных – по числу уравнений в системе (3.3.2.2). В нашей системе уравнений (т=3) это х5, х6, х7, которые и выражаем через оставшиеся неизвестные х1,х2,х3,х4.
Систему уравнений необходимо записать в следующем виде:
x5=15–(3х1+5х2+2х3+7х4)
x6=9–(4х1+3х2+3х3+5х4) (3.3.2.5)
х7=30–(5xt+6x2+4x3+8х4)
Переменные, находящиеся в левой части системы, называются базисными (основными), а находящиеся справа – небазисными (неосновными). Для определения значений базисных переменных х5, х6, х7 необходимо приравнять к нулю небазисные x1, х2, х3, x4 и подставить их в систему уравнений (3.3.2.5). Полученное таким образом решение является базисным. В нашей задаче оно будет выглядеть следующим образом:
(Х1, Х2, Х3, Х4, Х5, Х6, Х7)
(0, 0, 0, 0, 15, 9, 30)
После определения начального базиса можно перейти непосредственно к использованию алгоритма симплекс-метода, который содержит следующие основные этапы:
1. Заполнение исходной симплекс-таблицы. В соответствии с полученной системой уравнений и критерием оптимизации заполним исходную симплекс-таблицу (табл. 3.3.2.3).
2. Проверка базисного решения на оптимальность. Просматриваются знаки коэффициентов при небазисных переменных в целевой функции (критерий оптимизации) – последняя строка табл. 3.3.2.3.
Если все коэффициенты при небазисных переменных неположительные, то исходный базис является оптимальным; в противном случае переходят к следующему этапу. В нашей задаче решение неоптимально, так как все коэффициенты целевой функции при небазисных переменных положительны.
3. Проверка задачи на наличие решения. Если столбец коэффициентов при какой-либо небазисной переменной, имеющей положительный коэффициент в целевой функции, в системе уравнений состоит из одних неположительных чисел, то максимальное значение целевой функции стремится к бесконечности, то есть задача решения не имеет. В нашей задаче решение существует.
4. Выбор из небазисных переменных той, которая способна при введении ее в базис увеличить значение целевой функции. Наиболее простой и чаще всего используемый способ состоит в выборе той небазисной переменной, которой соответствует наибольший положительный коэффициент в целевой функции. В нашей задаче это переменная х2 (наибольший положительный коэффициент равен 50). Значит, х2 необходимо ввести в базис.
5. Определение базисной переменной, которая должна быть выведена из базиса. Для всех положительных коэффициентов в системе уравнений определяется отношение свободного члена уравнения к коэффициенту при вводимой в базис переменной. Для нашей задачи это будут следующие отношения: 15/5=3; 9/3=3; 30/6=5.
Минимальное из полученных отношений указывает строку и базисную переменную, которая должна быть выведена из базиса. При наличии нескольких одинаковых отношений берется любое. В нашей задаче выведем из базиса переменную х5.
6. Представление новой базисной переменной через небазисные. Строится новая симплекс-таблица (табл. 3.3.2.4). Отмечается звездочкой строка и столбец в предыдущей симплекс-таблице (табл. 3.3.2.3) для выводимой из базиса и для вводимой в него переменной.
Коэффициент, находящийся на пересечении строки и столбца, отмеченных звездочками, называется разрешающим и также помечается звездочкой (табл. 3.3.2.3). Все коэффициенты строки со звездочкой делятся на разрешающий элемент, а результаты расчета заносятся в новую симплекс-таблицу.
Таблица 3.3.2.3
Базисные переменные | Свободные члены | Коэффициенты при базисных и небазисных переменных | ||||||
XJ | °i | X] | х| | Х3 | *4 | Х5 | Хб | х? |
V* Х5 | ri*l i_ — _j | |||||||
Хб | ||||||||
X? | ||||||||
П. |
Таблица 3.3.2.4
Базисные переменные | Свободные члены | Коэффициенты при базисных и небазисных переменных | ||||||
х, | а, | X) | Х2 | *3 | Х4 | *5 | Хб | *7 |
Х2 | 3/5 | 2/5 | 7/5 | 1/5 | ||||
Хб | 11/5 | 9/5 | 4/5 | –3/5 | ||||
Х7 | 7/5 | 8/5 | –2/5 | –6/5 | ||||
п. | –150 | –50 | –10 |
В нашей задаче на первой итерации разрешающий элемент равен 5 (табл. 3.3.2.3). Результаты деления каждого элемента строки, отмеченной звездочкой, на разрешающий коэффициент заносятся в строку 1 новой таблицы (табл. 3.3.2.4). 7. Представление остальных базисных переменных и целевой функции через новый набор небазисных переменных. Для этого коэффициенты в последней таблице при новой базисной переменной умножаются на такое число, чтобы после сложения с преобразуемой строкой предыдущей таблицы в столбце новой таблицы при базисной переменной появился ноль. Результаты сложения заносятся в новую симплекс-таблицу. Исходя из этого, для получения коэффициентов второй строки в новой таблице (табл. 3.3.2.4) умножаем коэффициенты при новой базисной переменной х2 на число –3, складываем с соответствующими коэффициентами второй строки предыдущей симплекс-таблицы (табл. 3.3.2.3) и результаты расчета заносим во вторую строку новой таблицы (табл. 3.3.2.4).
Аналогичные преобразования проводим и для других строк. После этого выполняем новую итерацию. Цикл расчета начинается с этапа 2 и повторяется до нахождения оптимального решения.
Поскольку в последней строке табл. 3.3.2.4 не все коэффициенты целевой функции при небазисных переменных положительны, то решение неоптимально; следовательно, выполняется следующий итерационный цикл расчета и строится новая симплекс-таблица (табл. 3.3.2.5). В качестве вводимой в базис небазисной переменной принимаем ха (или х,), имеющую наибольший положительный коэффициент. Отмечаем звездочкой столбец х3. В качестве выводимой из базис переменной берем х6, так как для нее частное от деления свободного члена на соответствующий положительный коэффициент минимально. Разрешающий множитель равен 9/5. Результаты расчета представлены в табл. 3.3.2.5
Таблица 3.3.2.5
Базисные переменные | Свободные члены | Коэффициенты при базисных и небазисных переменных | ||||||
X, | а, | >П | Х2 | *з | Х4 | *5 | Хб | х? |
Х2 | 1/9 | 1/9 | 1/3 | –2/9 | ||||
хз | 11/9 | 4/9 | –3/9 | 5/9 | ||||
xt | –5/9 | –10/9 | –2/3 | –8/9 | ||||
П; | –150 | –20/9 | –490/9 | –20/3 | –50/9 |
Последняя строка таблицы не содержит положительных коэффициентов при небазисных переменных. Анализируя полученное решение, видим, что оно оптимально и выглядит так:
(х1, х2, х3, х4, х5, х6, х7)
(0, 3, 0, 0, 0, 0, 12)
Из полученных результатов следует, что предприятию наиболее выгодно изготовление только изделия И2, производство которого обеспечит максимальную прибыль в размере Ymax=150. При этом материальные и трудовые ресурсы будут задействованы полностью, а финансовые – недоиспользованы на 12 единиц.
Дата добавления: 2016-01-03; просмотров: 560;