Закон сохранения энергии. Запишем закон сохранения энергии в интегральной форме для объема

Запишем закон сохранения энергии в интегральной форме для объема

.

Перейдем к пределу при → 0 и примем формулы - , при этом будем считать непрерывной функцией, т.е.

.

Получим

.

Отсюда, деля на и устремляя к нулю, получим

– закон сохранения полной энергии на скачке в точке .

Итак, условия на поверхности сильного разрыва имеют вид

Здесь не выписано условие на момент количества движения, так как оно становится следствием баланса импульсов на скачке.

Проанализируем полученные условия, записав их применительно к совершенному газу, когда

.

Имеем

Здесь возможны два случая: поверхность разрыва распространяется по газу или покоится относительно него.

Пусть скачок и газ движутся с одной и той же скоростью, то есть

.

Такой разрыв называется контактным. Из баланса массы следует, что плотность с обеих сторон разрыва может принимать произвольные значения. Из баланса импульса, если его спроектировать на , следует, что давление непрерывно на разрыве. Уравнение баланса энергии выполняется тождественно. Касательная составляющая скорости так же, как и плотность, может принимать произвольные значения с обеих сторон разрыва. Поэтому контактный разрыв также называют касательным или тангенциальным. Действительно,

.

Из баланса импульса, если его спроектировать на , следует, что

,

то есть может быть не равным нулю.

Итак, на контактном разрыве плотность и касательная составляющая скорости разрывны, а давление и нормальная скорость непрерывны.

Пусть поверхность сильного разрыва распространяется по газу, то есть

.

Такой разрыв называется ударной волной или скачком уплотнения. Запишем уравнение баланса импульсов в проекции на нормаль

и на касательный вектор

или

.

Так как, согласно балансу массы,

,

то отсюда следует, что

,

то есть на ударной волне терпит разрыв только нормальная составляющая скорости газа, а касательная составляющая непрерывна.

Уравнение баланса энергии имеет вид

.

Перейдем к энтальпии. По определению

.

Тогда

,

или

.

Так как

,

то

.

Кроме того

,

,

поэтому баланс энергии принимает вид

.

Окончательно, система балансовых уравнений на ударной волне имеет вид

3.4.2. Соотношения на сильном разрыве
в неподвижной системе координат

Получим соотношения на сильном разрыве в неподвижной системе координат. Выкладки выполним на примере уравнения баланса импульса.

Интегральное уравнение баланса импульса для материального объема имеет вид

.

Пусть – поверхность разрыва. Рассмотрим два момента времени и . Пусть в момент совпадает с материальной поверхностью , а в момент – с материальной поверхностью . Если , то совпадает в пределе с . Возьмем на произвольную точку и получим соотношения на разрыве в этой точке. Рассмотрим малую плоскую окрестность точки , перпендикулярную к нормали поверхности в точке . Нормаль направим в сторону перемещения поверхности . Продолжим нормаль в обе стороны от точки до пересечения с поверхностями , и построим прямой цилиндр с образующими, нормальными к и проходящими через границу . Осью цилиндра является отрезок нормали в точке между поверхностями , . Основания обозначим , .

Применим к построенному материальному цилиндру уравнение баланса импульса

Вычислим объемы и . Обозначим параметры сплошной среды перед разрывом индексом 1, за разрывом – 2, скорость поверхности разрыва в точке через . Площадь основания цилиндра равна , а высота зависит от времени. В момент разрыв находится на , через отрезок времени он переместится на со скоростью . Поверхность в течение движется со скоростью , а поверхность имеет скорость .

В момент поверхность должна находиться на таком расстоянии от (разрыва), чтобы через разрыв догнал , т.е. высота цилиндра в момент должна быть (Рис. 3.4.2).

За время разрыв проходит расстояние , а поверхность расстояние , поэтому высота цилиндра в момент равна (Рис. 3.4.2).

Распишем интеграл по как сумму трех интегралов по основаниям и боковой поверхности цилиндра. Применим теорему о среднем к интегралам в уравнении . Получим

Знак минус перед обусловлен тем, что нормали к и разнонаправлены.

Перейдем к пределу при , потом поделим на и перейдем к пределу при (стягиваем окрестность к точке ). В результате получим баланс импульса на разрыве в точке в неподвижной системе координат

или

.

Аналогично можно получить балансовые соотношения для массы и энергии в неподвижной системе координат.

,

.

Рис. 3.4.2

3.4.3. Соотношения на разрыве в системе координат,
связанной с покоящимся газом

Пусть перед ударной волной газ покоится, а волна бежит по нему со скоростью . Получим условия на ударной волне в неподвижной системе координат, связанной с покоящимся газом. Обозначим через – нормальную к поверхности скачка скорость газа за скачком, тогда скорости в подвижной и неподвижной системе координат связаны соотношением

или

, .

Подставим в , получим

.

В силу баланса массы

.

Поэтому баланс импульса примет вид

.

Таким образом, условия на ударной волне в неподвижной системе координат, когда газ перед волной покоится, имеют вид

.