Условие устойчивости линейного многошагового метода.
Будем полагать теперь, что для решения тестового уравнения используется многошаговый метод. В этом случае
.
Преобразуем это выражение следующим образом:
,
где .Введем подстановку
.
Тогда разностное уравнение приводится к виду
,
или
.
Каждый корень полиномиального уравнения
,
их всего для каждого фиксированного
, порождает частное решение
разностного уравнения многошагового метода. Так как разностное уравнение многошагового метода линейно и для него справедлив принцип суперпозиции, общее решение в предположении, что все корни
различны, можно представить в виде
,
где – постоянные коэффициенты. Если полиномиальное уравнение
содержит кратный корень
кратности
, то соответствующий член в общем решении будет таким :
.
Отсюда следует, что , если
. Таким образом, многошаговый метод является численно устойчивым для тех значений
, для которых
корень полиномиального уравнения
лежит внутри единичной окружности
.
Множество всех значений , для которых многошаговый метод является численно устойчивым, называют областью устойчивости метода.
Дата добавления: 2015-11-24; просмотров: 660;