Гидравлическое уравнение количества движения для установившегося потока

Возьмем поток произвольной формы (рис. 3-38, а), наметим два живых сечения 1—1 и 2—2, покажем произвольную ось х. Поставим себе цель при­вести известную из теоретической механики теорему о количестве движения материальных точек к виду, удобному для расчета установившегося движения жидкости, когда в районе живых сечений 1—1 и 2—2 (рис. 3-38, а) имеет место плавно изменяющееся движение. Дополни­тельно будем считать, что распределения скоростей и в сечениях 1—1 и 2—2 при­мерно одинаковы, а

поэтому можно считать, что

(3-112)

Рис. 3-38. К обоснованию гидравлического уравне­ния количества движения

Напомним, что упомя­нутая теорема читается так: проекция на произвольно намеченную ось к прираще­ния количества движения (КД) движущегося тела равна сумме проекций на ось х импульсов внешних сил (ИС), действующих на тело, за соответствующий промежуток времени. Данную теорему условно можно написать в виде:

(3-113)

Применим эту теорему к отсеку жидкости АВ, заключенному в началь­ный момент времени между сечениями /—1 и 2—2 и перемещающемуся за время dt в положение А'В'.

1°. Приращение количества движения [ (ЛТД)] тела АВ. Обозначим элементарные объемы, заштрихованные на чертеже, соответственно через 6V^ и SV₂.

Очевидно,

(3-114)

Известно, что количество движения (КД) тела равно КД = массе тела X скорость тела.

Имея это в виду, найдем количества движения объемов жидкости 8У_г и 8V₂, т. е. величины КД и КД Масса жидкости в объеме есть та масса жидкости, которая за время dt проходит через сечение 1—1:

. (3-115)

Если бы все жидкие частицы этой массы проходили через живое сечение 1—1 с одинаковой скоростью v₁ то количество движения выра­зилось бы в виде:

(3-116)

Так как в различных точках сечения 1—1 в действительности имеем раз­ные скорости и, то согласно (3-87) искомое количество движения должно за­писаться в виде:

(3-117)

где v_x — средняя скорость в живом сечении 1—1.

Для величины аналогично (3-117) можем написать:

(3-118)

где v₂ — средняя скорость в живом сечении 2—2.

Подставив (3-117) и (3-118) в (3-114) и заменив v₁ и v₂ проекциями этих векторов на ось х, т. е. величинами v_1x и v_2x, получаем:

(3-119)

2°. Импульсы сил (ИС), приложенных к телу АВ. Известно, что импульс силы

ИС = силе время.

Рассмотрим все внешние силы, действующие на жидкое тело АВ при перемещении его в положение А'В'.

Сила собственного веса тела АВ. Обозначим эту силу через G и ее проекцию на ось х через G_x. Проекция импульса этой силы равна

G_x dt. (3-120)

Сила внешнего трения Т₀, приложенного к бо­ковой поверхности жидкого тела АВ со стороны боковых стенок, ограничивающих это тело. Проек­ция импульса этой силы равна

(Т₀)_х dt, (3-121)

где (Т₀)_х — проекция данной силы на ось х.

Сила реакции боковых стенок, ограничива­ющих жидкое телоЛВ (без учета сил трения, рассмотренных выше). Проекция импульса этой силы равна

R_xdt, (3-122)

где R* — проекция данной силы на ось х.

Сила гидродинамического давления, действу­ющего на торцовые сечения жидкого тела АЕ (на сечения 1—1 и 2—2) со стороны остальной жидкости (см. на чертеже силы Р₁ и Р_а). Проекция импульса этих двух сил

( , (3-123)

где Р_х — сумма проекций на ось х указанных двух сил.

3°. Гидравлическое уравнение количества движения. Подставляя в (3-113 выражения (3-119)—(3-123) и деля полученный результат на dt, искомое уравнение получаем в виде

(3-124)

где — масса жидкости, проходящая в единицу времени (в секунду) через любое живое сечение потока, = const (вдоль потока); — количе­ство движения указанной массы в данном плоском живом сечении, к которым относится скорость v; величина может быть названа секундным количеством движения потока (эта величина представляет собой как- бы расход количества движения). Размерность секундного коли­чества движения потока — размерность силы.

Проекции сил и скоростей, направленных против оси х, должны иметь з уравнении (3-124) отрицательную величину.

Гидравлическое уравнение количества движения (3-124) — уравнение баланса секундного количества движения — можно прочесть так: при пере­ходе от плоского живого сечения 1—1 к плоскому живому сечению 2—2 проек­ция (на какую-либо ось) секундного количества движения потока изменяется на величину, равную сумме проекций на ту же ось всех четырех внешних сил (G, T₀, R, Р), действующих на отсек потока, заключенный между сечениями 1—1 и 2—2.

Рис. 3-39. Давление горизонтальной струи на вертикальную плоскую стенку

Из сказанного ясно, что векторы всех внешних сил, действующих на рассматриваемый отсек жидкости (см. силы G, R, Т₀, Р₁ и Р₂ на рис. 3-38, а), вместе с векторами секундного количества движения ( ) и ( ) должны давать замкнутый многоугольник сил при условии, если вектор секундного ко­личества движения ( ) мы повернем на 180° и направим его внутрь данного отсека жидкости. Такой замкнутый многоугольник сил и секундных количеств движения пока­зан на рис. 3-38, б. Разумеется, сумма мо­ментов указанных векторов относительно новой точки должна равняться нулю.

4°. Пример использования уравнения количества движения. Уравнением (3-124) удобно пользоваться при решении различ­ных практических задач

Для примера рассмотрим случай, когда струя, выходящая из круглоцилиндрического сопла А, ударяется о плоскую стенку В, расположенную нормально к ней (рис. 3-39).

Как видно, здесь (при достаточно больших скоростях истечения жидкости) получаем так называемую осесимметричную задачу растекания потока по стенке В. Живое сечение 2—2, показанное на чертеже, имеет круглоцилиндрическую форму: на вертикальную плоскость, нормальную к чертежу, контур этого сечения проектируется в окружность, причем линии тока пересекают такую окружность в радиальном направлении.

Данный случай может рассматриваться как исключение: несмотря на наличие криво­линейного живого сечения 2—2 и резко изменяющегося движения жидкости в нем, мы все же, рассматривая такое сечение, можем пользоваться понятием средней скорости, а следова­тельно, и уравнением (3-124).

Чтобы найти давление Р₀ струи на стенку В, намечаем ось х, как показано на чертеже, и затем выделяем сечениями 1—1 и 2—2 отсек жидкости, к которому и прилагаем урав­нение (3-124).

1. Изменение проекции секундного количества движения при переходе от сечения 1—1 к сечению 2—2

Обычно насадку А делают несколько сходящейся по течению. При этом распределение скоростей и в сечении 1—1 оказывается весьма близким к равномерному (когда = 1,0).

2. Проекции на ось х сил, действующих на рассматриваемый отсек: G_x = 0;

(так как в сечении 1—1 давление атмосферное); Р_2х = 0; Р_х — Р_1х + P_2x = 0; (Т₀)_х 0; R_x = R = -Р₀.

3. Как видно, согласно уравнению (3-124), получаем:

—pQvi = — Р₀, откуда искомая сила давления струи на преграду

P₀ = pQv₁ = ( v₁)v₁

Или где a>j — площадь живого сечения струи (в сечении 1—1).