Неявный метод Эйлера.

Пусть требуется численно решить систему обыкновенных дифференциальных уравнений

.

Формально неявный метод Эйлера можно получить, рассматривая

,

где – шаг интегрирования.

Разложим в ряд Тейлора в окрестности точки :

.

Ограничившись в разложении двумя членами, придем к разностной схеме неявного метода Эйлера:

.

Локальная погрешность при этом определяется отброшенными членами ряда Тейлора:

.

Сравнивая явный и неявный методы Эйлера между собой (см. рис. 11.1), следует отметить, что методы обладают близкой по модулю, но разной по знаку погрешностью.

Рассмотрим устойчивость неявного метода Эйлера по отношению к шагу интегрирования. Применим его к системе уравнений

с отрицательно определенной матрицей , полагая шаг интегрирования постоянным:

.

Отсюда

Пусть – неособенная матрица, которая преобразованием подобия приводит матрицу к диагональному виду

.

Привлекая матрицу , преобразуем итерационное правило следующим образом:

,

или

,

где новая переменная

.

Запишем результат для -й компоненты вектора :

.

Отсюда следует, что при любом , поскольку все .

Неявный метод Эйлера является абсолютно устойчивым по отношению к шагу интегрирования. При решении этим методом жестких систем дифференциальных уравнений шаг интегрирования выбирается только из соображений допустимой локальной погрешности.








Дата добавления: 2015-11-24; просмотров: 1098;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.004 сек.