Неявный метод Эйлера.
Пусть требуется численно решить систему обыкновенных дифференциальных уравнений
.
Формально неявный метод Эйлера можно получить, рассматривая
,
где – шаг интегрирования.
Разложим в ряд Тейлора в окрестности точки :
.
Ограничившись в разложении двумя членами, придем к разностной схеме неявного метода Эйлера:
.
Локальная погрешность при этом определяется отброшенными членами ряда Тейлора:
.
Сравнивая явный и неявный методы Эйлера между собой (см. рис. 11.1), следует отметить, что методы обладают близкой по модулю, но разной по знаку погрешностью.
Рассмотрим устойчивость неявного метода Эйлера по отношению к шагу интегрирования. Применим его к системе уравнений
с отрицательно определенной матрицей , полагая шаг интегрирования постоянным:
.
Отсюда
Пусть – неособенная матрица, которая преобразованием подобия приводит матрицу к диагональному виду
.
Привлекая матрицу , преобразуем итерационное правило следующим образом:
,
или
,
где новая переменная
.
Запишем результат для -й компоненты вектора :
.
Отсюда следует, что при любом , поскольку все .
Неявный метод Эйлера является абсолютно устойчивым по отношению к шагу интегрирования. При решении этим методом жестких систем дифференциальных уравнений шаг интегрирования выбирается только из соображений допустимой локальной погрешности.
Дата добавления: 2015-11-24; просмотров: 1113;