Явный метод Эйлера.

Рассмотрим , где , – текущий шаг интегрирования. Разложим функцию в ряд Тейлора в окрестности точки :

.

Ограничившись в этом разложении двумя членами, получим разност-ную схему метода Эйлера

.

Локальная погрешность метода Эйлера составляет величину

.

В вычислительной математике численные методы решения обык-новенных дифференциальных уравнений принято характеризовать порядком точности.

Определение. Если локальная погрешность численного метода ,то порядок точности такого метода равен .

Метод Эйлера является методом первого порядка.

Приведем геометрическую интерпретацию явного метода Эйлера для задачи Коши

(см. рис. 10.2). Приращение на шаге интегрирования – катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла, тангенс которого равен значению производной в предыдущий момент времени. Вторым катетом этого треугольника является текущий шаг интегрирования.

Рис. 10.2. Геометрическая иллюстрация явного метода Эйлера

Оценим устойчивость метода Эйлера по отношению к шагу ин-

тегрирования. Для этого рассмотрим линейную автономную систему

с отрицательно определенной матрицей простой структуры. Отрицательная определенность матрицы означает, что все собствен-ные значения матрицы действительны и отрицательны, т. е. . В этом случае все решения .

Применим для решения этой системы метод Эйлера с постоянным шагом :

.

Здесь E –единичная матрица соответствующей размерности.

Из алгебры известно, что для любой неособенной матрицы простой структуры существует такая неособенная матрица , которая преобразованием подобия приводит матрицу к диагональному виду:

.

Преобразуем вычислительную схему метода Эйлера следующим образом:

.

Введем замену переменных . Тогда

,

или

.

Запишем это соотношение для i-й компоненты вектора :

,

или

,

где , т. е. определяется начальным условием.

Нетрудно видеть, что

,

если . Именно этим свойством обладает решение автономной системы с отрицательно определенной матрицей. Отсюда приходим к требованиям

,

при этом неравенство приводит к естественному условию , т. к. , а неравенство - к условию

.

Очевидно, чтобы , необходимо при выборе шага интегрирования выполнить условие

.

Таким образом, явный метод Эйлера по отношению к шагу интегрирования является условно устойчивым.

Явление жесткости.

Ограниченная устойчивость численного метода является серьезным недостатком при решении так называемых жестких систем.

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка

,

для которого уравнение имеет единственное решение

Рис. 10.3. К определению жесткости дифференциального уравнения

Рассмотрим примеры жестких систем.

1. Простейшее дифференциальное уравнение

(10.1)

может быть жестким (рис. 10.4) , если интервал наблюдения зна-

Рис. 10.4. Семейство решений уравнения (10.1)

чительно превосходит величину . Решением такого уравнения является функция . Пунктирные линии на рис. 10.4 соответствуют различным значениям .

2. Для иллюстрации явления жесткости дифференциальных уравнений может быть полезной также любая система линейных ОДУ, матрица которой характеризуется большим разбросом собственных значений, например система

(10.2)

Здесь собственные числа матрицы есть .

Решение этой системы (рис. 10.5)

содержит быструю составляющую как для , так и для , хотя по амплитуде быстрая составляющая функции значительно превосходит аналогичную компоненту функции (ее на рис. 10.5 в таком масштабе отобразить не удалось).

Рис. 10.5. Решение жесткой системы ОДУ (10.2)

Завершая краткую характеристику свойства жесткости дифференциальных уравнений, отметим, что при решении научных задач жесткость уравнений является скорее правилом, чем исключением. По этой причине для таких задач разработаны специальные методы численного интегрирования.

Лекция 11

Одношаговые методы

ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: Построить простейший неявный одношаговый метод, обладающий свойством устойчивости к шагу интегрирования, оценить его локальную погрешность; дать способ Рунге–Кутта увеличения точности одношаговых методов, проиллюстрировав его методами второго и четвертого порядков точности; привести разностную схему линейных многошаговых методов, получить условия корректного выбора коэффициентов.